有两个独立总体 X sim N(mu_1, sigma^2), Y sim N(mu_2, sigma^2), mu_1, mu_2, sigma^2均未知. X_1, ..., X_n和Y_1, ..., Y_m分别是来自X和Y的独立样本,n > m，S_1^2, S_2^2分别是样本方差。alpha为常数，则T_alpha = alpha S_1^2 + (1 - alpha)S_2^2是sigma^2的无偏估计，在这些无偏估计中，当alpha取何值时T_alpha最有效。 A)1/2 B)1 C)(n-1)/(n+m-2) D)(m-1)/(n+m-2)

为了确定使 $ T_a = a S_1^2 + (1-a) S_2^2 $ 成为 $\sigma^2$ 的最有效无偏估计的 $ a $ 值，我们需要遵循以下步骤： 1. **验证 $ T_a $ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计：** 样本方差 $ S_1^2 $ 和 $ S_2^2 $ 分别是 $\sigma^2$ 的无偏估计。也就是说，$ E(S_1^2) = \sigma^2 $ 和 $ E(S_2^2) = \sigma^2 $。因此， \[ E(T_a) = E(a S_1^2 + (1-a) S_2^2) = a E(S_1^2) + (1-a) E(S_2^2) = a \sigma^2 + (1-a) \sigma^2 = \sigma^2. \] 所以，$ T_a $ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计。 2. **找到 $ T_a $ 的方差：** $ S_1^2 $ 的方差由 $ \text{Var}(S_1^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1} $ 给出，$ S_2^2 $ 的方差由 $ \text{Var}(S_2^2) = \frac{2\sigma^4}{m-1} $ 给出。由于 $ S_1^2 $ 和 $ S_2^2 $ 是独立的，$ T_a $ 的方差为 \[ \text{Var}(T_a) = \text{Var}(a S_1^2 + (1-a) S_2^2) = a^2 \text{Var}(S_1^2) + (1-a)^2 \text{Var}(S_2^2) = a^2 \frac{2\sigma^4}{n-1} + (1-a)^2 \frac{2\sigma^4}{m-1}. \] 提取公因子 $ 2\sigma^4 $，我们得到 \[ \text{Var}(T_a) = 2\sigma^4 \left( \frac{a^2}{n-1} + \frac{(1-a)^2}{m-1} \right). \] 为了使 $ T_a $ 最有效，我们需要最小化表达式 $ \frac{a^2}{n-1} + \frac{(1-a)^2}{m-1} $。 3. **最小化方差表达式：** 设 $ f(a) = \frac{a^2}{n-1} + \frac{(1-a)^2}{m-1} $。为了找到最小值，我们对 $ f(a) $ 关于 $ a $ 求导并设其为零： \[ f'(a) = \frac{2a}{n-1} - \frac{2(1-a)}{m-1} = 0. \] 简化后，我们得到 \[ \frac{a}{n-1} = \frac{1-a}{m-1} \implies a(m-1) = (1-a)(n-1) \implies am - a = n - 1 - an + a \implies am + an - 2a = n - 1 \implies a(m + n - 2) = n - 1 \implies a = \frac{n-1}{m+n-2}. \] 因此，使 $ T_a $ 最有效的 $ a $ 值是 $ \frac{n-1}{n+m-2} $。 答案是 $\boxed{C}$。