设 X_1, X_2, ldots, X_n 为总体 X 的一个样本，则总体均值较有效的估计量是(）。A. (1)/(5) X_1 + (2)/(5) X_2 + (1)/(5) X_3 + (1)/(5) X_4B. (1)/(4) X_1 + (1)/(4) X_2 + (1)/(4) X_3 + (1)/(4) X_4C. (4)/(9) X_1 + (3)/(9) X_2 + (1)/(9) X_3 + (1)/(9) X_4D. (1)/(3) X_1 + (1)/(6) X_2 + (1)/(6) X_3 + (1)/(3) X_4

本题考查总体均值估计量有效性的判断，解题的关键在于明确有效性的判定标准，即比较各估计量的方差大小，方差越小的估计量越有效。同时，要利用样本的性质，样本中的每个观测值相互独立且具有相同的方差$D(X_i)=\sigma^2$（$i = 1,2,\cdots,n$），以及方差的性质$D(aX)=a^2D(X)$和$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$（$X$与$Y$相互独立）来计算各选项估计量的方差。

设总体$X$的方差为$\sigma^2$，因为$X_1,X_2,X_3,X_4$是总体$X$的样本，所以$D(X_1)=D(X_2)=D(X_3)=D(X_4)=\sigma^2$，且它们相互独立。

选项A

设$\hat{\theta}_A=\frac{1}{5} X_1 + \frac{2}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3 + \frac{1}{5} X_4$，根据方差的性质可得：
$\begin{align*}D(\hat{\theta}_A)&=D(\frac{1}{5} X_1 + \frac{2}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3 + \frac{1}{5} X_4)\\&=(\frac{1}{5})^2D(X_1)+(\frac{2}{5})^2D(X_2)+(\frac{1}{5})^2D(X_3)+(\frac{1}{5})^2D(X_4)\\&=\frac{1}{25}\sigma^2+\frac{4}{25}\sigma^2+\frac{1}{25}\sigma^2+\frac{1}{25}\sigma^2\\&=\frac{1 + 4 + 1 + 1}{25}\sigma^2\\&=\frac{7}{25}\sigma^2\end{align*}$

选项B

设$\hat{\theta}_B=\frac{1}{4} X_1 + \frac{1}{4} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4$，同理可得：
$\begin{align*}D(\hat{\theta}_B)&=D(\frac{1}{4} X_1 + \frac{1}{4} X_2 + \frac{1}{4} X_3 + \frac{1}{4} X_4)\\&=(\frac{1}{4})^2D(X_1)+(\frac{1}{4})^2D(X_2)+(\frac{1}{4})^2D(X_3)+(\frac{1}{4})^2D(X_4)\\&=\frac{1}{16}\sigma^2+\frac{1}{16}\sigma^2+\frac{1}{16}\sigma^2+\frac{1}{16}\sigma^2\\&=\frac{1 + 1 + 1 + 1}{16}\sigma^2\\&=\frac{4}{16}\sigma^2\\&=\frac{1}{4}\sigma^2\end{align*}$

选项C

设$\hat{\theta}_C=\frac{4}{9} X_1 + \frac{3}{9} X_2 + \frac{1}{9} X_3 + \frac{1}{9} X_4$，则：
$\begin{align*}D(\hat{\theta}_C)&=D(\frac{4}{9} X_1 + \frac{3}{9} X_2 + \frac{1}{9} X_3 + \frac{1}{9} X_4)\\&=(\frac{4}{9})^2D(X_1)+(\frac{3}{9})^2D(X_2)+(\frac{1}{9})^2D(X_3)+(\frac{1}{9})^2D(X_4)\\&=\frac{16}{81}\sigma^2+\frac{9}{81}\sigma^2+\frac{1}{81}\sigma^2+\frac{1}{81}\sigma^2\\&=\frac{16 + 9 + 1 + 1}{81}\sigma^2\\&=\frac{27}{81}\sigma^2\\&=\frac{1}{3}\sigma^2\end{align*}$

选项D

设$\hat{\theta}_D=\frac{1}{3} X_1 + \frac{1}{6} X_2 + \frac{1}{6} X_3 + \frac{1}{3} X_4$，有：
$\begin{align*}D(\hat{\theta}_D)&=D(\frac{1}{3} X_1 + \frac{1}{6} X_2 + \frac{1}{6} X_3 + \frac{1}{3} X_4)\\&=(\frac{1}{3})^2D(X_1)+(\frac{1}{6})^2D(X_2)+(\frac{1}{6})^2D(X_3)+(\frac{1}{3})^2D(X_4)\\&=\frac{1}{9}\sigma^2+\frac{1}{36}\sigma^2+\frac{1}{36}\sigma^2+\frac{1}{9}\sigma^2\\&=\frac{4}{36}\sigma^2+\frac{1}{36}\sigma^2+\frac{1}{36}\sigma^2+\frac{4}{36}\sigma^2\\&=\frac{4 + 1 + 1 + 4}{36}\sigma^2\\&=\frac{10}{36}\sigma^2\\&=\frac{5}{18}\sigma^2\end{align*}$

为了比较$\frac{7}{25}\sigma^2$、$\frac{1}{4}\sigma^2$、$\frac{1}{3}\sigma^2$和$\frac{5}{18}\sigma^2$的大小，先通分：
$\frac{7}{25}\sigma^2=\frac{7\times36}{25\times36}\sigma^2=\frac{252}{900}\sigma^2$
$\frac{1}{4}\sigma^2=\frac{1\times225}{4\times225}\sigma^2=\frac{225}{900}\sigma^2$
$\frac{1}{3}\sigma^2=\frac{1\times300}{3\times300}\sigma^2=\frac{300}{900}\sigma^2$
$\frac{5}{18}\sigma^2=\frac{5\times50}{18\times50}\sigma^2=\frac{250}{900}\sigma^2$

因为$\frac{225}{900}\sigma^2\lt\frac{250}{900}\sigma^2\lt\frac{252}{900}\sigma^2\lt\frac{300}{900}\sigma^2$，即$D(\hat{\theta}_B)\lt D(\hat{\theta}_D)\lt D(\hat{\theta}_A)\lt D(\hat{\theta}_C)$，所以选项B的估计量方差最小，是总体均值较有效的估计量。