题目
25.设正态分布函数,-|||-_(i)= 0,否则 i=1, 2,···,100,-|||-1,事件A发生-|||-且 P(A)=0.3 x1,x2,···,x100相互独立。令 =sum _(i=1)^100(X)_(i), 则由中心极-|||-限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。-|||-A.ϕ(y) B. (dfrac (y-30)(sqrt {21)}) C. (dfrac (y-30)(21)) D. bigcirc (1)(y-30)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
给定的随机变量 ${X}_{i}$ 是一个伯努利随机变量，其取值为1的概率为P(A)=0.3，取值为0的概率为1-P(A)=0.7。因此，${X}_{i}$ 的期望值为E(${X}_{i}$)=0.3，方差为Var(${X}_{i}$)=0.3×0.7=0.21。
步骤 2：计算Y的期望值和方差
由于 ${X}_{i}$ 相互独立，Y是它们的和，因此Y的期望值为E(Y)=100×E(${X}_{i}$)=100×0.3=30，方差为Var(Y)=100×Var(${X}_{i}$)=100×0.21=21。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量的和的分布近似于正态分布。因此，Y的分布函数F(y)近似于标准正态分布函数ϕ(x)的变换形式，即$F(y)\approx \phi(\dfrac{y-30}{\sqrt{21}})$。
给定的随机变量 ${X}_{i}$ 是一个伯努利随机变量，其取值为1的概率为P(A)=0.3，取值为0的概率为1-P(A)=0.7。因此，${X}_{i}$ 的期望值为E(${X}_{i}$)=0.3，方差为Var(${X}_{i}$)=0.3×0.7=0.21。
步骤 2：计算Y的期望值和方差
由于 ${X}_{i}$ 相互独立，Y是它们的和，因此Y的期望值为E(Y)=100×E(${X}_{i}$)=100×0.3=30，方差为Var(Y)=100×Var(${X}_{i}$)=100×0.21=21。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量的和的分布近似于正态分布。因此，Y的分布函数F(y)近似于标准正态分布函数ϕ(x)的变换形式，即$F(y)\approx \phi(\dfrac{y-30}{\sqrt{21}})$。