题目
5.设X1,X2,X3是来自总体X的简单随机样本,且 (X)=mu , 则下列统计量不是μ的无偏估计量-|||-的是-|||-(A) dfrac (1)(3)((X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3)). (B) dfrac (2)(3)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2) (C) _(1)+(X)_(2)+(X)_(3) (D) dfrac (1)(4)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(2)(X)_(3)-|||-二、填空题:每小题2分,共10分,
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义无偏估计量
无偏估计量是指一个统计量的期望值等于总体参数的值。即，如果 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的估计量，那么 $\hat{\theta}$ 是无偏的，当且仅当 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：计算每个选项的期望值
(A) $\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})$
$E\left(\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})\right) = \dfrac {1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \dfrac {1}{3}(\mu + \mu + \mu) = \mu$
(B) $\dfrac {2}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}$
$E\left(\dfrac {2}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}\right) = \dfrac {2}{3}E(X_1) + \dfrac {1}{3}E(X_2) = \dfrac {2}{3}\mu + \dfrac {1}{3}\mu = \mu$
(C) ${X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}$
$E({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = \mu + \mu + \mu = 3\mu$
(D) $\dfrac {1}{4}({X}_{1}+{X}_{2})+\dfrac {1}{2}{X}_{3}$
$E\left(\dfrac {1}{4}({X}_{1}+{X}_{2})+\dfrac {1}{2}{X}_{3}\right) = \dfrac {1}{4}(E(X_1) + E(X_2)) + \dfrac {1}{2}E(X_3) = \dfrac {1}{4}(\mu + \mu) + \dfrac {1}{2}\mu = \dfrac {1}{2}\mu + \dfrac {1}{2}\mu = \mu$
步骤 3：判断无偏估计量
根据步骤 2 的计算结果，选项 (A)、(B) 和 (D) 的期望值都等于 $\mu$，因此它们都是 $\mu$ 的无偏估计量。而选项 (C) 的期望值为 $3\mu$，不等于 $\mu$，因此它不是 $\mu$ 的无偏估计量。
无偏估计量是指一个统计量的期望值等于总体参数的值。即，如果 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的估计量，那么 $\hat{\theta}$ 是无偏的，当且仅当 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：计算每个选项的期望值
(A) $\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})$
$E\left(\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})\right) = \dfrac {1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \dfrac {1}{3}(\mu + \mu + \mu) = \mu$
(B) $\dfrac {2}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}$
$E\left(\dfrac {2}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}\right) = \dfrac {2}{3}E(X_1) + \dfrac {1}{3}E(X_2) = \dfrac {2}{3}\mu + \dfrac {1}{3}\mu = \mu$
(C) ${X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}$
$E({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = \mu + \mu + \mu = 3\mu$
(D) $\dfrac {1}{4}({X}_{1}+{X}_{2})+\dfrac {1}{2}{X}_{3}$
$E\left(\dfrac {1}{4}({X}_{1}+{X}_{2})+\dfrac {1}{2}{X}_{3}\right) = \dfrac {1}{4}(E(X_1) + E(X_2)) + \dfrac {1}{2}E(X_3) = \dfrac {1}{4}(\mu + \mu) + \dfrac {1}{2}\mu = \dfrac {1}{2}\mu + \dfrac {1}{2}\mu = \mu$
步骤 3：判断无偏估计量
根据步骤 2 的计算结果，选项 (A)、(B) 和 (D) 的期望值都等于 $\mu$，因此它们都是 $\mu$ 的无偏估计量。而选项 (C) 的期望值为 $3\mu$，不等于 $\mu$，因此它不是 $\mu$ 的无偏估计量。