某地区粮食产量资料如下: 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004粮食产量 85.6 91.0 96.1 101.2 107.0 112.2试用最小平方法拟合直线趋势方程,并据此方程预测我国2005年该地区的粮食产量。

考查要点：本题主要考查直线趋势模型的最小平方法应用，包括时间代码的设定、参数计算及预测。

解题核心思路：

1. 时间代码设定：当数据项数为偶数时，原点设在数列中间，使时间代码对称分布（如-5, -3, -1, 1, 3, 5），确保$\sum t = 0$，简化计算。
2. 参数计算：利用公式$a = \frac{\sum y}{n}$和$b = \frac{\sum ty}{\sum t^2}$，直接求出趋势方程$y_c = a + bt$。
3. 预测：根据趋势方程，代入预测年份的时间代码$t$，计算预测值。

破题关键点：

• 对称时间代码：确保$\sum t = 0$，避免复杂计算。
• 公式选择：利用简化的公式快速求解参数。

步骤1：设定时间代码

年份	时间代码$t$	粮食产量$y$
1999	-5	85.6
2000	-3	91.0
2001	-1	96.1
2002	1	101.2
2003	3	107.0
2004	5	112.2

步骤2：计算必要统计量

• $\sum t = 0$（对称性保证）
• $\sum y = 85.6 + 91.0 + 96.1 + 101.2 + 107.0 + 112.2 = 593.1$
• $\sum t^2 = (-5)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2 + 5^2 = 70$
• $\sum ty = (-5)(85.6) + (-3)(91.0) + (-1)(96.1) + 1(101.2) + 3(107.0) + 5(112.2) = 186.1$

步骤3：求解参数$a$和$b$

• 截距$a$：
  $a = \frac{\sum y}{n} = \frac{593.1}{6} = 98.85$
• 斜率$b$：
  $b = \frac{\sum ty}{\sum t^2} = \frac{186.1}{70} \approx 2.66$

步骤4：建立趋势方程

$y_c = 98.85 + 2.66t$

步骤5：预测2005年产量

2005年对应时间代码$t = 7$（2004年$t=5$，下一年$t+2=7$）：
$y_c = 98.85 + 2.66 \times 7 = 117.47 \text{（万吨）}$