题目

设总体 X 服从均值为 theta 的指数分布，其中 theta > 0，X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体的简单随机样本，T(a) = aoverline(X) 来估计 theta，则下列说法正确的是 ______(备注：T(a) 估计 theta 的均方误差的计算公式 --- E(T(a) - theta)^2)A 无论 a 取何值，T(a) 的均方误差为 (a^2)/(n)theta^2 + (1-a)^2theta^2B 无论 a 取何值，T(a) 的均方误差为 (a^2)/(n)theta^2C 无论 a 取何值，T(a) 的均方误差为 (a^2)/(n)theta^2 + (1-a)thetaD T(1) 与 T(2) 都是 theta 的无偏估计

设总体 $X$ 服从均值为 $\theta$ 的指数分布，其中 $\theta > 0$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的简单随机样本，$T(a) = a\overline{X}$ 来估计 $\theta$，则下列说法正确的是 ______

(备注：$T(a)$ 估计 $\theta$ 的均方误差的计算公式 --- $E\{(T(a) - \theta)^2\}$)

A 无论 $a$ 取何值，$T(a)$ 的均方误差为 $\frac{a^2}{n}\theta^2 + (1-a)^2\theta^2$

B 无论 $a$ 取何值，$T(a)$ 的均方误差为 $\frac{a^2}{n}\theta^2$

C 无论 $a$ 取何值，$T(a)$ 的均方误差为 $\frac{a^2}{n}\theta^2 + (1-a)\theta$

D $T(1)$ 与 $T(2)$ 都是 $\theta$ 的无偏估计

题目解答

答案

设总体 $ X $ 服从均值为 $ \theta $ 的指数分布，样本均值 $ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $，则 $ E(\bar{X}) = \theta $，$ D(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n} $。
估计量 $ T(a) = a\bar{X} $，其期望和方差分别为：
$E(T(a)) = a\theta, \quad D(T(a)) = \frac{a^2\theta^2}{n}$
均方误差为：
$E\{(T(a) - \theta)^2\} = E\{T(a)^2 - 2\theta T(a) + \theta^2\} = D(T(a)) + [E(T(a))]^2 - 2\theta E(T(a)) + \theta^2$
代入得：
$E\{(T(a) - \theta)^2\} = \frac{a^2\theta^2}{n} + a^2\theta^2 - 2a\theta^2 + \theta^2 = \theta^2\left(\frac{a^2}{n} + (1 - a)^2\right)$
选项分析：

  • A：正确，均方误差为 $ \frac{a^2}{n}\theta^2 + (1 - a)^2\theta^2 $。
  • B：错误，缺少 $ (1 - a)^2\theta^2 $ 项。
  • C：错误，系数应为 $ \theta^2 $。
  • D：错误，$ T(2) $ 不是无偏估计（$ E(T(2)) = 2\theta $）。

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查指数分布的性质、样本均值的期望与方差、估计量的期望与方差以及均方误差的计算。解题思路如下：

  1. 首先明确总体 $X$ 服从均值为 $\theta$ 的指数分布，根据指数分布的性质可知 $E(X)=\theta$，$D(X)=\theta^{2}$。
  2. 因为 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体的简单随机样本，样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，根据期望和方差的性质可得 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\theta=\theta$，$D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\theta^{2}=\frac{\theta^{2}}{n}$。
  3. 对于估计量 $T(a)=a\overline{X}$，根据期望和方差的性质计算其期望和方差：
    • $E(T(a)) = E(a\overline{X})=aE(\overline{X}) = a\theta$。
    • $D(T(a)) = D(a\overline{X})=a^{2}D(\overline{X})=\frac{a^{2}\theta^{2}}{n}$。
  4. 然后根据均方误差的计算公式 $E\{(T(a)-\theta)^2\}$ 进行计算：
    • 先将 $(T(a)-\theta)^2$ 展开得 $(T(a)-\theta)^2=T(a)^{2}-2\theta T(a)+\theta^{2}$。
    • 再求期望 $E\{(T(a)-\theta)^2\}=E\{T(a)^{2}-2\theta T(a)+\theta^{2}\}$，根据期望的性质 $E(A + B+C)=E(A)+E(B)+E(C)$，可得 $E\{T(a)^{2}-2\theta T(a)+\theta^{2}\}=E(T(a)^{2})-2\theta E(T(a))+\theta^{2}$。
    • 又因为 $D(T(a))=E(T(a)^{2})-[E(T(a))]^{2}$，所以 $E(T(a)^{2})=D(T(a))+[E(T(a))]^{2}$，将 $E(T(a)) = a\theta$，$D(T(a))=\frac{a^{2}\theta^{2}}{n}$ 代入可得：
      $E\{(T(a)-\theta)^2\}=D(T(a))+[E(T(a))]^{2}-2\theta E(T(a))+\theta^{2}=\frac{a^{2}\theta^{2}}{n}+a^{2}\theta^{2}-2a\theta^{2}+\theta^{2}=\theta^{2}\left(\frac{a^{2}}{n}+(1 - a)^{2}\right)=\frac{a^{2}}{n}\theta^{2}+(1 - a)^{2}\theta^{2}$。
  5. 最后对各选项进行分析：
    • 选项A：由前面计算可知，无论 $a$ 取何值，$T(a)$ 的均方误差为 $\frac{a^{2}}{n}\theta^{2}+(1 - a)^{2}\theta^{2}$，所以选项A正确。
    • 选项B：计算得到的均方误差有 $(1 - a)^{2}\theta^{2}$ 项，并非只有 $\frac{a^{2}}{n}\theta^{2}$，所以选项B错误。
    • 选项C：均方误差中 $(1 - a)$ 的系数应该是 $\theta^{2}$，而不是 $\theta$，所以选项C错误。
    • 选项D：无偏估计的定义是 $E(T)=\theta$，$E(T(1)) = 1\times\theta=\theta$，$T(1)$ 是无偏估计；$E(T(2)) = 2\times\theta = 2\theta\neq\theta$，$T(2)$ 不是无偏估计，所以选项D错误。