题目

设X_(1),X_(2)是从正态总体N(mu,sigma^2)中抽取的样本,则其中mu的最有效的估计量是() hat(mu)_(1)=(2)/(3)X_(1)+(1)/(3)X_(2); hat(mu)_(2)=(1)/(4)X_(1)+(3)/(4)X_(2); hat(mu)_(3)=(1)/(2)X_(1)+(1)/(2)X_(2); A. 第1个B. 第2个C. 第3个D. 都可以

设$X_{1},X_{2}$是从正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$中抽取的样本,则其中$\mu$的最有效的估计量是()

$\hat{\mu}_{1}=\frac{2}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}$; $\hat{\mu}_{2}=\frac{1}{4}X_{1}+\frac{3}{4}X_{2}$; $\hat{\mu}_{3}=\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2}$;

  • A. 第1个
  • B. 第2个
  • C. 第3个
  • D. 都可以

题目解答

答案

1. **无偏性判断**： - 三个估计量的期望值均为 $\mu$，故均无偏。 2. **方差计算**： - $\text{Var}(\hat{\mu}_1) = \frac{5}{9}\sigma^2$ - $\text{Var}(\hat{\mu}_2) = \frac{5}{8}\sigma^2$ - $\text{Var}(\hat{\mu}_3) = \frac{1}{2}\sigma^2$ 3. **比较方差**： - $\frac{1}{2} < \frac{5}{9} < \frac{5}{8}$，故 $\hat{\mu}_3$ 最小。 **答案**： \[ \boxed{C} \]

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计量的有效性比较，涉及正态总体样本线性组合的期望与方差计算，以及方差最小原则的应用。

解题核心思路：

  1. 无偏性判断：验证每个估计量的期望是否等于参数$\mu$。
  2. 方差计算：利用独立样本的方差性质，计算各估计量的方差。
  3. 比较方差：选择方差最小的估计量作为最有效估计量。

破题关键点：

  • 无偏性是有效估计的前提，所有候选估计量必须满足无偏性。
  • 方差最小是区分有效性的核心标准，需正确计算并比较各估计量的方差。
  • 正态总体中，样本均值是$\mu$的最有效估计量，本题中$\hat{\mu}_3$对应样本均值。

1. 无偏性判断

对于任意线性组合$\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$，若满足$a + b = 1$，则$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu$。验证三个估计量：

  • $\hat{\mu}_1$：$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$，无偏。
  • $\hat{\mu}_2$：$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$，无偏。
  • $\hat{\mu}_3$：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，无偏。

2. 方差计算

由于$X_1, X_2$独立，方差为：
$\text{Var}(aX_1 + bX_2) = a^2\sigma^2 + b^2\sigma^2.$

  • $\hat{\mu}_1$：$\text{Var} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2\sigma^2 = \frac{5}{9}\sigma^2$。
  • $\hat{\mu}_2$：$\text{Var} = \left(\frac{1}{4}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2\sigma^2 = \frac{10}{16}\sigma^2 = \frac{5}{8}\sigma^2$。
  • $\hat{\mu}_3$：$\text{Var} = \left(\frac{1}{2}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\sigma^2 = \frac{1}{2}\sigma^2$。

3. 比较方差

$\frac{1}{2} < \frac{5}{9} < \frac{5}{8},$
因此$\hat{\mu}_3$的方差最小，是最有效估计量。