1 -2 3k-|||-设 A= -1 2k -3 问k为何值,可使-|||-k -2 3-|||-(1) R(A)=1 ; (2) (A)=2; (3) (A)=3.

考查要点：本题主要考查矩阵秩的判定方法，涉及行列式的计算、子式存在性判断以及矩阵行（列）向量的线性相关性分析。

解题核心思路：

1. 秩与行列式的关系：对于3阶方阵，若行列式非零，则秩为3；若行列式为零，则需进一步分析是否存在非零的二阶子式。
2. 秩的降级判定：当行列式为零时，若存在非零的二阶子式，则秩为2；若所有二阶子式均为零，则秩为1。

破题关键点：

• 计算行列式：通过展开行列式确定$k$的临界值。
• 子式验证：对$k=-2$和$k=1$分别验证是否存在非零的二阶子式，或所有二阶子式是否为零。

1. 计算行列式$|A|$

矩阵$A$的行列式为：
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3k \\ -1 & 2k & -3 \\ k & -2 & 3 \end{vmatrix}$
展开计算得：
$|A| = -6(k-1)^2(k+2)$

2. 分析不同$k$值对应的秩

(1) $R(A)=3$

当$|A| \neq 0$时，$R(A)=3$，即：
$k \neq 1 \quad \text{且} \quad k \neq -2$

(2) $R(A)=2$

当$|A|=0$且存在非零二阶子式时，$R(A)=2$。取$k=-2$：

• 左上角二阶子式：
  $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - (-2) \cdot (-1) = -6 \neq 0$
  因此$R(A)=2$。

(3) $R(A)=1$

当$|A|=0$且所有二阶子式均为零时，$R(A)=1$。取$k=1$：

• 矩阵$A$变为：
  $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
  所有行均为第一行的倍数，故所有二阶子式为零，$R(A)=1$。