题目

已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是-|||-7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数-|||-在 -9400 之间的概率p.

题目解答

答案

解析

本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路是先明确切比雪夫不等式的形式，再根据题目所给条件确定随机变量的期望和标准差，然后将所求概率转化为符合切比雪夫不等式的形式，最后代入不等式计算出概率的下限。

  1. 设每毫升含白细胞数为随机变量 $X$，已知 $E(X)=\mu = 7300$，$\sqrt{D(X)}=\sigma = 700$。
  2. 要求 $P(5200\lt X\lt 9400)$，对不等式进行变形：
    • $5200\lt X\lt 9400$ 可化为 $5200 - 7300\lt X - 7300\lt 9400 - 7300$。
    • 计算得 $-2100\lt X - 7300\lt 2100$，即 $P(5200\lt X\lt 9400)=P(\vert X - 7300\vert\lt 2100)$。
  3. 切比雪夫不等式为 $P(\vert X - \mu\vert\lt \varepsilon)\geqslant 1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}$，其中 $\mu$ 是期望，$\sigma$ 是标准差，$\varepsilon$ 是一个正数。
  4. 在本题中，$\mu = 7300$，$\sigma = 700$，$\varepsilon = 2100$，将其代入切比雪夫不等式：
    • $1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}=1-\frac{700^{2}}{2100^{2}}$。
    • 先计算分子分母的值：$700^{2}=700\times700 = 490000$，$2100^{2}=2100\times2100 = 4410000$。
    • 则 $\frac{700^{2}}{2100^{2}}=\frac{490000}{4410000}=\frac{1}{9}$。
    • 所以 $1-\frac{700^{2}}{2100^{2}}=1 - \frac{1}{9}=\frac{8}{9}$。
    • 即 $P(\vert X - 7300\vert\lt 2100)\geqslant\frac{8}{9}$。