题目

设有两个二元总体 G_1 和 G_2，从中分别抽取样本计算得到[overrightarrow(X)^(1) = } 5 1 ]假设 Sigma_1 = Sigma_2，试用距离判别法建立判别函数和判别规则。样品 X = (6,0) 应属于哪个总体？

设有两个二元总体 $G_1$ 和 $G_2$，从中分别抽取样本计算得到

$
\overrightarrow{X}^{(1)} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{X}^{(2)} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad \Sigma_p = \begin{bmatrix} 5.8 & 2.1 \\ 2.1 & 7.6 \end{bmatrix}
$

假设 $\Sigma_1 = \Sigma_2$，试用距离判别法建立判别函数和判别规则。样品 $X = (6,0)$ 应属于哪个总体？

题目解答

答案

设总体 $G_1$ 和 $G_2$ 的均值向量分别为 $\overline{X}^{(1)} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\overline{X}^{(2)} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$，协方差矩阵 $\Sigma_p = \begin{bmatrix} 5.8 & 2.1 \\ 2.1 & 7.6 \end{bmatrix}$。
判别函数为：
$d(X) = (\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)})' \Sigma_p^{-1} X + \frac{1}{2} (\overline{X}^{(2)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(2)} - \overline{X}^{(1)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(1)})$
计算得：
$d(X) \approx 0.2243x_1 + 0.3327x_2 - 0.731$
对于样品 $X = (6, 0)'$，$d(X) \approx 0.615 > 0$，故属于 $G_1$。

答案： $\boxed{G_1}$

解析

本题考查的是距离判别法的应用，解题思路是先根据已知条件确定总体的均值向量和协方差矩阵，然后利用距离判别法的公式建立判别函数，最后将待判别的样品代入判别函数，根据判别规则判断其所属总体。

  1. 确定总体的均值向量和协方差矩阵：
    已知总体$G_1$和$G_2$的均值向量分别为$\overline{X}^{(1)} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$和$\overline{X}^{(2)} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$，协方差矩阵$\Sigma_p = \begin{bmatrix} 5.8 & 2.1 \\ 2.1 & 7.6 \end{bmatrix}$。
  2. 计算$\Sigma_p^{-1}$：
    对于二阶矩阵$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，其逆矩阵$A^{-1}=\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$。
    对于$\Sigma_p = \begin{bmatrix} 5.8 & 2.1 \\ 2.1 & 7.6 \end{bmatrix}$，$ad - bc=5.8\times7.6 - 2.1\times2.1 = 44.08 - 4.41 = 39.67$。
    则$\Sigma_p^{-1}=\frac{1}{39.67}\begin{bmatrix} 7.6 & -2.1 \\ -2.1 & 5.8 \end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix} 0.1916 & -0.0529 \\ -0.0529 & 0.1462 \end{bmatrix}$。
  3. 计算$(\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)})'$：
    $\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)} = \begin{bmatrix} 5 - 3 \\ 1 - (-2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，所以$(\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)})' = \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}$。
  4. 计算$(\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)})' \Sigma_p^{-1}$：
    $(\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)})' \Sigma_p^{-1}=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.1916 & -0.0529 \\ -0.0529 & 0.1462 \end{bmatrix}$
    $=\begin{bmatrix} 2\times0.1916 + 3\times(-0.0529) & 2\times(-0.0529) + 3\times0.1462 \end{bmatrix}$
    $=\begin{bmatrix} 0.3832 - 0.1587 & -0.1058 + 0.4386 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.2245 & 0.3328 \end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix} 0.2243 & 0.3327 \end{bmatrix}$。
  5. 计算$\overline{X}^{(1)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(1)}$和$\overline{X}^{(2)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(2)}$：
    $\overline{X}^{(1)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(1)}=\begin{bmatrix} 5 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.1916 & -0.0529 \\ -0.0529 & 0.1462 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$
    $=\begin{bmatrix} 5\times0.1916 + 1\times(-0.0529) & 5\times(-0.0529) + 1\times0.1462 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$
    $=\begin{bmatrix} 0.958 - 0.0529 & -0.2645 + 0.1462 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.9051 & -0.1183 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$
    $=0.9051\times5 + (-0.1183)\times1 = 4.5255 - 0.1183 = 4.4072$。
    $\overline{X}^{(2)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(2)}=\begin{bmatrix} 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.1916 & -0.0529 \\ -0.0529 & 0.1462 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$
    $=\begin{bmatrix} 3\times0.1916 + (-2)\times(-0.0529) & 3\times(-0.0529) + (-2)\times0.1462 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$
    $=\begin{bmatrix} 0.5748 + 0.1058 & -0.1587 - 0.2924 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.6806 & -0.4511 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$
    $=0.6806\times3 + (-0.4511)\times(-2) = 2.0418 + 0.9022 = 2.944$。
  6. 计算$\frac{1}{2} (\overline{X}^{(2)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(2)} - \overline{X}^{(1)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(1)})$：
    $\frac{1}{2} (\overline{X}^{(2)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(2)} - \overline{X}^{(1)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(1)})=\frac{1}{2}(2.944 - 4.4072)=\frac{1}{2}\times(-1.4632)= - 0.7316\approx - 0.731$。
  7. 得到判别函数：
    $d(X) = (\overline{X}^{(1)} - \overline{X}^{(2)})' \Sigma_p^{-1} X + \frac{1}{2} (\overline{X}^{(2)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(2)} - \overline{X}^{(1)}' \Sigma_p^{-1} \overline{X}^{(1)})$
    $d(X) \approx 0.2243x_1 + 0.3327x_2 - 0.731$。
  8. 判断样品$X = (6, 0)$所属总体：
    将$x_1 = 6$，$x_2 = 0$代入判别函数$d(X)$得：
    $d(X) \approx 0.2243\times6 + 0.3327\times0 - 0.731 = 1.3458 - 0.731 = 0.6148\approx 0.615 > 0$。
    根据判别规则，当$d(X)>0$时，样品$X$属于$G_1$。