09)设X11,X2,···,Yn是来自正态总体N(t,σ^2)的样-|||-本(). ()-|||-A .overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i)sim N(mu ,(sigma )^2) .-|||-B dfrac (1)({sigma )^2}cdot dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2sim (chi )^2(n) .-|||-C dfrac (1)({sigma )^2}cdot dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2sim (chi )^2(n-1)-|||-D dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(overline (X)-mu )sim N(0,dfrac ({sigma )^2}(n))

本题考查正态总体样本统计量的分布，涉及样本均值、样本方差的分布性质以及卡方分布的应用。解题核心在于：

1. 样本均值的分布：$\overline{X} \sim N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$；
2. 样本方差的分布：当用样本均值$\overline{X}$代替总体均值$\mu$时，$\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$；
3. 卡方分布的自由度：若直接使用总体均值$\mu$，则自由度为$n$，否则为$n-1$。

选项A分析

$\overline{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$
错误。样本均值的方差应为$\dfrac{\sigma^2}{n}$，而非$\sigma^2$。

选项B分析

$\dfrac{1}{\sigma^2} \cdot \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n)$
错误。正确形式为$\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$，此处分母应为$n-1$且自由度为$n-1$。

选项C分析

$\dfrac{1}{\sigma^2} \cdot \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n-1)$
错误。若已知总体均值$\mu$，则$\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n)$，此处自由度应为$n$且分母应为$1$。

选项D分析

$\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\overline{X} - \mu) \sim N\left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$
正确。$\overline{X} - \mu \sim N\left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，而$\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\overline{X} - \mu) = \overline{X} - \mu$，故分布正确。