设(X,Y)在曲线 =(x)^2 =4 所围成的区域D内服从均匀分布,求边缘概率密度-|||-fx(x),fx(y).

本题考查二维均匀分布的概率密度函数以及边缘概率密度的计算。解题思路如下：

1. 首先，需要求出区域 $D$ 的面积 $G$，因为二维均匀分布的概率密度函数 $f(x,y)$ 与区域面积有关。
2. 然后，根据二维均匀分布的概率密度函数公式 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{G},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$ 确定 $f(x,y)$。
3. 最后，利用边缘概率密度公式 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$ 和 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$ 分别计算 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。

步骤一：求区域 $D$ 的面积 $G$

区域 $D$ 由曲线 $y = x^2$ 和 $y = 4$ 所围成，联立方程 $\begin{cases}y = x^2\\y = 4\end{cases}$，可得 $x^2 = 4$，解得 $x=\pm2$。
根据定积分求面积公式 $G=\int_{-2}^{2}(4 - x^2)dx$，计算如下：
$\begin{align*} G&=\int_{-2}^{2}(4 - x^2)dx\\ &=\left(4x-\frac{1}{3}x^3\right)\big|_{-2}^{2}\\ &=(4\times2-\frac{1}{3}\times2^3)-(4\times(-2)-\frac{1}{3}\times(-2)^3)\\ &=(8 - \frac{8}{3})-(-8+\frac{8}{3})\\ &=8 - \frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}\\ &=\frac{32}{3} \end{align*}$

步骤二：确定二维均匀分布的概率密度函数 $f(x,y)$

因为 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 内服从均匀分布，所以 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{3}{32},& - 2\leqslant x\leqslant 2,x^2\leqslant y\leqslant 4\\0,&\text{其他}\end{cases}$

步骤三：计算边缘概率密度 $f_X(x)$

根据边缘概率密度公式 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，当 $-2\leqslant x\leqslant 2$ 时：
$\begin{align*} f_X(x)&=\int_{x^2}^{4}\frac{3}{32}dy\\ &=\frac{3}{32}y\big|_{x^2}^{4}\\ &=\frac{3}{32}(4 - x^2) \end{align*}$
当 $x\lt - 2$ 或 $x\gt 2$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_X(x)=0$。
综上，$f_X(x)=\begin{cases}\frac{3}{32}(4 - x^2),& - 2\leqslant x\leqslant 2\\0,&\text{其他}\end{cases}$

步骤四：计算边缘概率密度 $f_Y(y)$

根据边缘概率密度公式 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$，由 $y = x^2$ 可得 $x=\pm\sqrt{y}$，当 $0\leqslant y\leqslant 4$ 时：
$\begin{align*} f_Y(y)&=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{3}{32}dx\\ &=\frac{3}{32}x\big|_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\\ &=\frac{3}{32}(\sqrt{y}-(-\sqrt{y}))\\ &=\frac{3}{16}\sqrt{y} \end{align*}$
当 $y\lt 0$ 或 $y\gt 4$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_Y(y)=0$。
综上，$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{3}{16}\sqrt{y},&0\leqslant y\leqslant 4\\0,&\text{其他}\end{cases}$