2.计算下列极限:-|||-(4) lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(x))}^kx (k为正整数).

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是涉及指数函数形式的极限，需要灵活运用自然对数的极限形式或等价无穷小替换。

解题核心思路：
将原式转化为已知极限形式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$，或通过对数变形后利用等价无穷小替换。

破题关键点：

1. 识别底数与指数的关联：底数$(1 - \frac{1}{x})$与指数$kx$的乘积结构，提示可拆分为已知极限的幂次形式。
2. 灵活应用等价无穷小：对$\ln(1 - \frac{1}{x})$进行展开，简化计算。

步骤1：取自然对数简化计算
设原式为$L = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{kx}$，取自然对数得：
$\ln L = kx \cdot \ln\left(1 - \frac{1}{x}\right)$

步骤2：展开对数表达式
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x}$趋近于0，利用泰勒展开或等价无穷小替换：
$\ln\left(1 - \frac{1}{x}\right) \approx -\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} - \cdots \approx -\frac{1}{x}$

步骤3：代入近似值并化简
忽略高阶无穷小项，得：
$\ln L \approx kx \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = -k$

步骤4：还原指数形式
对$\ln L = -k$取指数函数，得：
$L = e^{-k}$