在1500个产品中有400个次品、1100个正品，任取200个。(1) 求恰有90个次品的概率；(2) 求至少有2个次品的概率。

我们来逐步解决这个概率问题。

题目背景：

• 总产品数：1500 个
• 次品数：400 个
• 正品数：1100 个
• 从中任取：200 个产品

(1) 求恰有90个次品的概率

我们使用超几何分布来解决这个问题。

超几何分布公式：

设从总数为 $ N $ 的总体中抽取 $ n $ 个样本，其中含有 $ K $ 个成功项（如次品），则恰好抽到 $ k $ 个成功项的概率为：

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

应用到本题：

• $ N = 1500 $（总产品数）
• $ K = 400 $（次品数）
• $ n = 200 $（抽取的产品数）
• $ k = 90 $（我们希望抽到的次品数）

代入公式：

$P(X = 90) = \frac{\binom{400}{90} \binom{1100}{110}}{\binom{1500}{200}}$

> ⚠️ 注意：这个计算非常庞大，通常需要使用计算机软件（如Python、R、Excel）或近似方法（如正态近似）来计算。

(2) 求至少有2个次品的概率

即求：

$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$

我们使用超几何分布分别计算 $ P(X = 0) $ 和 $ P(X = 1) $。

计算 $ P(X = 0) $：

$P(X = 0) = \frac{\binom{400}{0} \binom{1100}{200}}{\binom{1500}{200}} = \frac{\binom{1100}{200}}{\binom{1500}{200}}$

计算 $ P(X = 1) $：

$P(X = 1) = \frac{\binom{400}{1} \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}}$

所以：

$P(X \geq 2) = 1 - \left[ \frac{\binom{1100}{200}}{\binom{1500}{200}} + \frac{400 \cdot \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}} \right]$

总结：

(1) 恰有90个次品的概率：

$\boxed{P(X = 90) = \frac{\binom{400}{90} \binom{1100}{110}}{\binom{1500}{200}}}$

(2) 至少有2个次品的概率：

$\boxed{P(X \geq 2) = 1 - \left[ \frac{\binom{1100}{200} + 400 \cdot \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}} \right]}$

> ⚠️ 这些组合数非常大，实际计算需借助计算机或近似方法。例如，可以使用正态近似来估算这些概率。如果需要数值结果，可以使用 Python 的 scipy.stats.hypergeom 模块来计算。

如果你需要数值结果或代码实现，也可以告诉我，我可以帮你写一个 Python 脚本进行计算。