封闭曲线l的积分xy平面半径为1，且方向为逆时针的圆，矢量F=xey-yex，则它的环量____pi，而矢量的旋度为______。

考查要点：本题主要考查矢量场的环量计算和旋度的计算，涉及线积分与微分运算的应用。

解题核心思路：

1. 环量计算：通过参数化闭合曲线，将线积分转化为定积分计算，利用三角恒等式简化积分过程。
2. 旋度计算：直接应用二维矢量场旋度的公式，计算偏导数后求差值。

破题关键点：

• 参数化圆的方程：利用三角函数表示圆的坐标，简化积分变量。
• 旋度公式的应用：明确二维旋度仅需计算z分量，避免三维旋度的复杂推导。

环量计算

1. 参数化曲线：
   封闭曲线为半径1的圆，参数方程为：
   $x = \cos t, \quad y = \sin t \quad (0 \leq t < 2\pi)$
   计算微分：
   $dx = -\sin t \, dt, \quad dy = \cos t \, dt$

2. 代入积分表达式：
   环量积分形式为：
   $\oint_l (-y \, dx + x \, dy)$
   代入参数化结果：
   $\int_0^{2\pi} \left[ \sin t \cdot \sin t + \cos t \cdot \cos t \right] dt = \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t) \, dt$

3. 简化积分：
   利用三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，得：
   $\int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$

旋度计算

1. 确定分量：
   矢量场 $\mathbf{F} = -y \mathbf{e}_x + x \mathbf{e}_y$，对应分量为 $P = -y$，$Q = x$。

2. 应用旋度公式：
   二维旋度的z分量为：
   $\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{e}_z$
   计算偏导数：
   $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1$
   因此：
   $\nabla \times \mathbf{F} = (1 - (-1)) \mathbf{e}_z = 2 \mathbf{e}_z$