题目
一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间,每个部件正常工作的概率0.9,为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,则整个系统起作用的概率约为( )。( (x)重为标准正态分布函数)A. (x)重B. (x)重C. (x)重D. (x)重
一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间,每个部件正常工作的概率0.9,为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,则整个系统起作用的概率约为( )。( 
为标准正态分布函数)
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
详解
1. 求近似正态分布的参数
我们知道当n很大（这里n = 100），p不太靠近0或1时（这里p=0.9），二项分布
可以近似为正态分布
。
设X表示正常工作的部件个数，
。当X近似为正态分布Y时，，其中n = 100，p=0.9，所以
，
2. 将所求概率转化为标准正态分布形式
我们要求
，当X近似为正态分布时，
。对X = 85进行标准化，
（这里用84.5是连续性修正），计算得
，所以
总结
整个系统起作用的概率约为，故本题的答案是A选项。
解析
步骤 1：确定二项分布的参数
设X表示正常工作的部件个数，$X\sim B(100,0.9)$。其中n = 100，p=0.9。
步骤 2：求近似正态分布的参数
当n很大，p不太靠近0或1时，二项分布$X\sim B(n,p)$可以近似为正态分布$Y\sim N(np,np(1-p))$。所以$\mu =np=100\times 0.9=90$，$\sigma =\sqrt {np(1-p)}=\sqrt {100\times 0.9\times (1-0.9)}=\sqrt {9}=3$。
步骤 3：将所求概率转化为标准正态分布形式
我们要求$P(X\geqslant 85)$，当X近似为正态分布时，$P(X\geqslant 85)=1-P(X\lt 85)$。对X = 85进行标准化，$z=\dfrac {X-\mu }{\sigma }=\dfrac {84.5-90}{3}$（这里用84.5是连续性修正），计算得$z=\dfrac {-5.5}{3}\approx -\dfrac {5}{3}$，所以$P(X\geqslant 85)=1-P(X\lt 85)=1-(-\dfrac {5}{3})=(\dfrac {5}{3})$。
设X表示正常工作的部件个数，$X\sim B(100,0.9)$。其中n = 100，p=0.9。
步骤 2：求近似正态分布的参数
当n很大，p不太靠近0或1时，二项分布$X\sim B(n,p)$可以近似为正态分布$Y\sim N(np,np(1-p))$。所以$\mu =np=100\times 0.9=90$，$\sigma =\sqrt {np(1-p)}=\sqrt {100\times 0.9\times (1-0.9)}=\sqrt {9}=3$。
步骤 3：将所求概率转化为标准正态分布形式
我们要求$P(X\geqslant 85)$，当X近似为正态分布时，$P(X\geqslant 85)=1-P(X\lt 85)$。对X = 85进行标准化，$z=\dfrac {X-\mu }{\sigma }=\dfrac {84.5-90}{3}$（这里用84.5是连续性修正），计算得$z=\dfrac {-5.5}{3}\approx -\dfrac {5}{3}$，所以$P(X\geqslant 85)=1-P(X\lt 85)=1-(-\dfrac {5}{3})=(\dfrac {5}{3})$。