题目
一、填空-|||-1.设 approx N(mu ,(4)^2), 其中μ为未知,从总体X中抽取样本容量为25的样本,-|||-样本均值为X,则 |overline {X)-mu |lt 1} = __ 。。( circled (1)(1.25)=0.8944
题目解答
答案
0.7888
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于 $X\sim N(\mu ,{4}^{2})$，样本容量为25，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{4^2}{25})$。因此，$\overline{X}$ 的标准差为 $\frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$。
步骤 2：计算概率
$P\{ |\overline{X}-\mu| < 1\}$ 可以转化为 $P\{ -1 < \overline{X}-\mu < 1\}$。由于 $\overline{X}$ 的标准差为0.8，因此 $P\{ -1 < \overline{X}-\mu < 1\}$ 可以进一步转化为 $P\{ -\frac{1}{0.8} < \frac{\overline{X}-\mu}{0.8} < \frac{1}{0.8}\}$，即 $P\{ -1.25 < Z < 1.25\}$，其中 $Z$ 为标准正态分布。
步骤 3：利用标准正态分布表
根据标准正态分布表，$P\{ -1.25 < Z < 1.25\} = 2\Phi(1.25) - 1$。已知 $\Phi(1.25) = 0.8944$，因此 $P\{ -1.25 < Z < 1.25\} = 2 \times 0.8944 - 1 = 0.7888$。
由于 $X\sim N(\mu ,{4}^{2})$，样本容量为25，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{4^2}{25})$。因此，$\overline{X}$ 的标准差为 $\frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$。
步骤 2：计算概率
$P\{ |\overline{X}-\mu| < 1\}$ 可以转化为 $P\{ -1 < \overline{X}-\mu < 1\}$。由于 $\overline{X}$ 的标准差为0.8，因此 $P\{ -1 < \overline{X}-\mu < 1\}$ 可以进一步转化为 $P\{ -\frac{1}{0.8} < \frac{\overline{X}-\mu}{0.8} < \frac{1}{0.8}\}$，即 $P\{ -1.25 < Z < 1.25\}$，其中 $Z$ 为标准正态分布。
步骤 3：利用标准正态分布表
根据标准正态分布表，$P\{ -1.25 < Z < 1.25\} = 2\Phi(1.25) - 1$。已知 $\Phi(1.25) = 0.8944$，因此 $P\{ -1.25 < Z < 1.25\} = 2 \times 0.8944 - 1 = 0.7888$。