题目

设随机变量X，Y独立，且sim ({X)_(m)}^2，sim ({X)_(m)}^2，令sim ({X)_(m)}^2，则sim ({X)_(m)}^2服从______分布。

设随机变量X，Y独立，且 $X\sim\chi_m^2$ ， $Y\sim\chi_n^2$ ，令 $\xi=\frac{\frac{1}{m}X}{\frac{1}{n}Y}$ ，则 $\xi$ 服从______分布。

题目解答

答案

$X\sim\chi_m^2$ 表示X服从自由度为m的卡方分布， $Y\sim\chi_n^2$ 表示Y服从自由度为n的卡方分布，随机变量X，Y独立，则 $\xi=\frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}\sim F\left(m,n\right)$ ，则 $\xi$ 服从 $F\left(m,n\right)$ 分布。

解析

步骤 1：理解随机变量X和Y的分布
$X\sim {{X}_{m}}^{2}$表示X服从自由度为m的卡方分布，$Y\sim {\dfrac {2}{n}}^{2}$表示Y服从自由度为n的卡方分布。

步骤 2：理解随机变量X和Y的独立性
随机变量X，Y独立，意味着它们的联合概率分布等于各自概率分布的乘积。

步骤 3：计算随机变量ε的分布
令$\varepsilon =\dfrac {\dfrac {1}{m}X}{\dfrac {1}{n}Y}$，根据卡方分布的性质，当X和Y独立时，$\varepsilon$服从F分布，即$\varepsilon \sim F(m,n)$。