题目
9.已知某机器生产的零件长度X(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ^2),现从中随意抽取-|||-容量为16的一个样本,测得样本均值 overline (x)=10, 样本方差 ^2=0.16.-|||-(1)求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间;-|||-(2)在显著性水平为0.05下检验假设 _(0):mu =9.7 _(1):mu neq 9.7.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体均值μ的置信区间
- 由于样本容量n=16，样本均值$\overline{x}=10$，样本方差$S^2=0.16$，总体方差未知，因此使用t分布来计算置信区间。
- 置信度为0.95，自由度df=n-1=15，查t分布表得到t_{0.025}(15)=2.132。
- 总体均值μ的置信区间为$\overline{x}\pm t_{0.025}(15)\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}$。
- 代入数值计算得到置信区间为$10\pm 2.132\cdot\frac{0.4}{4}$。
步骤 2：检验假设
- 假设检验的原假设${H}_{0}:\mu =9.7$，备择假设${H}_{1}:\mu \neq 9.7$。
- 计算t统计量$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\mu_0=9.7$。
- 代入数值计算得到t统计量的值为$t=\frac{10-9.7}{0.4/4}$。
- 比较t统计量的值与t分布表中的临界值t_{0.025}(15)=2.132，判断是否拒绝原假设。
- 由于样本容量n=16，样本均值$\overline{x}=10$，样本方差$S^2=0.16$，总体方差未知，因此使用t分布来计算置信区间。
- 置信度为0.95，自由度df=n-1=15，查t分布表得到t_{0.025}(15)=2.132。
- 总体均值μ的置信区间为$\overline{x}\pm t_{0.025}(15)\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}$。
- 代入数值计算得到置信区间为$10\pm 2.132\cdot\frac{0.4}{4}$。
步骤 2：检验假设
- 假设检验的原假设${H}_{0}:\mu =9.7$，备择假设${H}_{1}:\mu \neq 9.7$。
- 计算t统计量$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\mu_0=9.7$。
- 代入数值计算得到t统计量的值为$t=\frac{10-9.7}{0.4/4}$。
- 比较t统计量的值与t分布表中的临界值t_{0.025}(15)=2.132，判断是否拒绝原假设。