在一元线性回归中,F-检验和t-检验等价()A. 正确B. 错误

本题考查一元线性回归中F - 检验和t - 检验的关系。解题思路是分别明确一元线性回归中F - - 检验和t - 检验的原假设、检验统计量，然后通过推导证明二者在一元线性回归的情况下是等价的。

1. 明确一元线性回归模型

一元线性回归模型为 $y_i=\beta_0+\beta_1x_i + \epsilon_i$，其中 $i = 1,2,\cdots,n$，$\epsilon_i$ 是随机误差项，满足 $E(\epsilon_i)=0$，Var(\epsilon_i)=\sigma^2)，且相互独立。

2. 确定F - 检验和t - 检验的原假设

• F - 检验：原假设 $H_0:F=\beta_1 = 0$，备择假设 $H_1:\beta_1\neq0$。
• t - 检验：原假设 $H_0:t=\beta_1 = 0$，备假设 $H_1:\beta_1\neq0$。

3. 给出F - 检验和t -检验的检验统计量

• F - 检验统计量：$F=\frac{SSR/1/1}{SSE1/(n - 2)}$，其中 $SSR1=\sum_{i = 1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^2$ 是回归平方和，$SSE1=\sum_{i = 1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2$ 是残差平方和，$n$ 是样本数量。在原假设 $H_0:\beta_1 = 0$ 成立的条件下，$F\sim F(1,n - 2)$。
• t - 检验统计量：$t=\frac{\hat{\beta}_1}{s_{\hat{\beta}}}}}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}}$，在原假设 $H_0:\beta_1 = 0$ 成立的条件下，$t\sim t(n - 2)$，当 $x_0=\bar{x}$ 时，$t=\frac{\hat{\beta}_1}{s_{\hat{\beta}_1}}$，其中 $\hat{\beta}_1$ 是 $\beta_1$ 的最小二乘估计，$s_{\hat{\beta}_1}$ 是 $\hat{\beta}_1$ 的标准差的估计。

4. 推导二者关系

在一元线性回归中，$F$ 统计量和 $t$统计量存在关系 $F = t^2$。
因为 $F\sim F(1,n - 2)$，$t\sim t(n - 2)$，而 $F$ 分布与 $t$ 分布有如下关系：若 $T\mathrm{T}\sim t(n)$，则 $\mathrm{T}^2\sim F(1,n)$。
对于一元线性回归的 $F$ 检验和 $t$ 检验，在相同的显著性水平 $\alpha$ 下，$F$ 检验的拒绝域为 $F>F_{\alpha}(1,n - 2)$，$t$ 检验的拒绝域为 $|t|>t_{\alpha/2}(n - 2)$。
又因为 $F_{\alpha}(1,n - 2)=t_{\alpha/2}^2(n - 2)$，所以 $F>F_{\alpha}(1,n - 2)$ 等价于 $|t^2>t_{\alpha/2}^2(n - 2)$，即 $|t|>t_{\alpha/2}(n - 2)$。
这表明在一元线性回归中，F - 检验和t - 检验的拒绝域是相同的，所以二者是等价的。