题目
2、下列各式中极限值为1的是（）。A. lim_(xtoinfty)(sin x)/(x)B. lim_(xto1)(sin x)/(x)C. lim_(xtoinfty)xsin(1)/(x)D. lim_(xto0)xsin(1)/(x)
2、下列各式中极限值为1的是（）。
A. $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$
B. $\lim_{x\to1}\frac{\sin x}{x}$
C. $\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$
D. $\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$
题目解答
答案
C. $\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$
解析
本题考查极限的计算，特别是涉及三角函数与无穷小量的乘积或比值的极限。解题核心在于：
- 识别极限形式：判断是否为基本极限形式（如$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$）；
- 变量替换：通过变量替换将复杂形式转化为基本形式；
- 夹逼定理的应用：处理含有振荡函数的极限。
选项A：$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$
- 分析：分子$\sin x$有界（$|\sin x| \leq 1$），分母$x \to +\infty$，整体趋近于$0$。
- 结论：极限值为$0$，不符合要求。
选项B：$\lim_{x\to1}\frac{\sin x}{x}$
- 分析：直接代入$x=1$，得$\frac{\sin 1}{1} = \sin 1 \approx 0.841$。
- 结论：极限值为$\sin 1 \neq 1$，不符合要求。
选项C：$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$
- 变量替换：令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to +\infty$时，$t \to 0$。
- 转化形式：原式变为$\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t}$。
- 基本极限：$\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1$。
- 结论：极限值为$1$，符合要求。
选项D：$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$
- 有界性分析：$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x\sin\frac{1}{x}| \leq |x|$。
- 夹逼定理：当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，因此极限为$0$。
- 结论：极限值为$0$，不符合要求。