题目
3.设X1,X2,",xn是来自总体X的一个样本, (X)=(sigma )^2, 样本均值为x,则 cos (X,overrightarrow (X))=-|||-(A)σ^2 (B) dfrac ({sigma )^2}(n) (C)nσ^2 (D) dfrac ({sigma )^2}({n)^2}
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值的方差 $D(\overline{X})$ 可以通过方差的性质计算。由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，且 $D(X_i) = \sigma^2$，则有：
$$
D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
$$
步骤 3：计算协方差
协方差 $Cov(X, \overline{X})$ 可以通过协方差的性质计算。由于 $X_i$ 与 $\overline{X}$ 的关系，我们有：
$$
Cov(X, \overline{X}) = Cov\left(X, \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Cov(X, X_i)
$$
由于 $X$ 与 $X_i$ 是独立同分布的，所以 $Cov(X, X_i) = D(X) = \sigma^2$，因此：
$$
Cov(X, \overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{1}{n} \cdot n \sigma^2 = \sigma^2
$$
样本均值 $\overline{X}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值的方差 $D(\overline{X})$ 可以通过方差的性质计算。由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，且 $D(X_i) = \sigma^2$，则有：
$$
D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
$$
步骤 3：计算协方差
协方差 $Cov(X, \overline{X})$ 可以通过协方差的性质计算。由于 $X_i$ 与 $\overline{X}$ 的关系，我们有：
$$
Cov(X, \overline{X}) = Cov\left(X, \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Cov(X, X_i)
$$
由于 $X$ 与 $X_i$ 是独立同分布的，所以 $Cov(X, X_i) = D(X) = \sigma^2$，因此：
$$
Cov(X, \overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{1}{n} \cdot n \sigma^2 = \sigma^2
$$