13 单选题（分值2.0分，难度：中）f(x)在(a,b)内连续，且x_(0)in(a,b)，则在点x_(0)处（）A. f(x)的极限不存在B. f(x)的极限不一定存在C. f(x)的极限存在，且可导D. f(x)的极限存在，且不一定可导

本题考查函数在某点连续与极限、可导之间的关系。解题思路是根据函数连续的定义判断函数在该点的极限情况，再通过举例说明函数在该点的可导性。

1. 判断函数在$x_0$处的极限情况：
   根据函数连续的定义，如果函数$f(x)$在点$x_0$处连续，那么$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
   已知$f(x)$在$(a,b)$内连续，且$x_0\in(a,b)$，这就意味着$f(x)$在点$x_0$处连续，所以$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$存在且等于$f(x_0)$。
2. 判断函数在$x_0$处的可导性：
   函数在某点连续并不一定意味着在该点可导。例如函数$f(x)=\vert x\vert$，它在$x = 0$处连续。
   当$x\to0^+$时，$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\vert x\vert - 0}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x}=1$；
   当$x\to0^-$时，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{\vert x\vert - 0}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x}=-1$。
   因为左导数$-1\neq$右导数$1$，所以$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导。
   这就说明函数在某点连续时，不一定在该点可导。