某进出口公司出口一种名茶,规定每包规格重量不低于150克,现在用不重复抽样的方法抽取1%进行检验,结果如下:每包重量（克） 包数148 － 149149 － 150150 － 151151 － 152 10 20 50 20 合计 100试计算:(1)以99.73%的概率估计这批茶叶平均每包的重量,以便确定是否达到重量规格的要求。(2)以同样的概率估计这批茶叶包装的合格率。

本题主要考查了抽样分布中总体均值和总体合格率的区间估计，解题思路如下：

（1）估计这批茶叶平均每包的重量

1. 计算样本均值 $\overline{x}$：
   • 首先确定每组的组中值，分别为 $148.5$、$149.5$、$150.5$、$151.5$。
   • 根据样本均值公式 $\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}x_{i}f_{i}}{\sum_{i = 1}^{k}f_{i}}$，其中 $x_{i}$ 是组中值，$f_{i}$ 是每组的频数，$k$ 是组数。
   • 计算 $\sum_{i = 1}^{4}x_{i}f_{i}=148.5\times10 + 149.5\times20 + 150.5\times50 + 151.5\times20$
     • $148.5\times10=1485$；
     • $149.5\times20 = 2990$；
     • $150.5\times50=7525$；
     • $151.5\times20 = 3030$。
   • 则 $\sum_{i = 1}^{4}x_{i}f_{i}=1485 + 2990+7525 + 3030=15030$。
   • 又因为 $\sum_{i = 1}^{4}f_{i}=10 + 20+50 + 20 = 100$。
   • 所以 $\overline{x}=\frac{15030}{100}=150.3$ 克。
2. 计算样本方差 $s^{2}$：
   • 根据样本方差公式 $s^{2}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}(x_{i}-\overline{x})^{2}f_{i}}{\sum_{i = 1}^{k}f_{i}-1}$。
   • 计算 $(148.5 - 150.3)^{2}\times10+(149.5 - 150.3)^{2}\times20+(150.5 - 150.3)^{2}\times50+(151.5 - 150.3)^{2}\times20$
     • $(148.5 - 150.3)^{2}\times10=(-1.8)^{2}\times10 = 32.4$；
     • $(149.5 - 150.3)^{2}\times20=(-0.8)^{2}\times20 = 12.8$；
     • $(150.5 - 150.3)^{2}\times50=(0.2)^{2}\times50 = 2$；
     • $(151.5 - 150.3)^{2}\times20=(1.2)^{2}\times20 = 28.8$。
   • 则 $\sum_{i = 1}^{4}(x_{i}-\overline{x})^{2}f_{i}=32.4+12.8 + 2+28.8 = 76$。
   • 所以 $s^{2}=\frac{76}{100 - 1}\approx0.76$。
3. 计算抽样平均误差 $\mu_{\overline{x}}$：
   • 已知抽样方法为不重复抽样，且抽取比例为 $1\%$，即 $\frac{n}{N}=0.01$，$n = 100$。
   • 根据公式 $\mu_{\overline{x}}=\sqrt{\frac{s^{2}}{n}(1-\frac{n}{N})}$，可得 $\mu_{\overline{x}}=\sqrt{\frac{0.76}{100}(1 - 0.01)}\approx\sqrt{0.007524}\approx0.0867$ 克。
4. 确定置信区间：
   • 已知概率为 $99.73\%$，对应的 $z$ 值为 $3$（根据正态分布的性质）。
   • 抽样极限误差 $\Delta_{\overline{x}}=z\mu_{\overline{x}}=3\times0.0867 = 0.26$ 克。
   • 总体均值的置信区间为 $\overline{x}\pm\Delta_{\overline{x}}$，即 $150.3\pm0.26=(150.04,150.56)$ 克。
   • 由于下限 $150.04$ 克大于规定的每包重量不低于 $150$ 克，所以可以确定这批茶叶平均每包重量达到了重量规格的要求。

（2）估计这批茶叶包装的合格率

1. 计算样本合格率 $p$：
   • 合格的包数为重量不低于 $150$ 克的包数，即 $50 + 20 = 70$ 包。
   • 样本合格率 $p=\frac{n_{1}}{n}=\frac{70}{100}=0.7$，其中 $n_{1}$ 是合格的包数，$n$ 是样本总数。
2. 计算抽样平均误差 $\mu_{p}$：
   • 根据公式 $\mu_{p}=\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}(1-\frac{n}{N})}$。
   • 代入 $p = 0.7$，$n = 100$，$\frac{n}{N}=0.01$，可得 $\mu_{p}=\sqrt{\frac{0.7\times(1 - 0.7)}{100}(1 - 0.01)}=\sqrt{\frac{0.7\times0.3}{100}\times0.99}=\sqrt{0.002079}\approx0.0456$。
3. 确定置信区间：
   • 已知概率为 $99.73\%$，对应的 $z$ 值为 $3$。
   • 抽样极限误差 $\Delta_{p}=z\mu_{p}=3\times0.0456 = 0.1368$。
   • 总体合格率的置信区间为 $p\pm\Delta_{p}$，即 $0.7\pm0.1368=(0.5632,0.8368)$，转化为百分数为 $56.32\% - 83.68\%$。