简答题（共5题，50.0分）20.（10.0分）设方阵A满足A^2-2A-4E=0，证明A-3E可逆，并求(A-3E)^-1.
题目解答
答案
由题意，矩阵 $A$ 满足 $A^2 - 2A - 4E = 0$，即 $A^2 = 2A + 4E$。
考虑矩阵 $B = A + E$，计算得：
$(A - 3E)B = (A - 3E)(A + E) = A^2 - 2A - 3E = (2A + 4E) - 2A - 3E = E.$
因此，$(A - 3E)B = E$，说明 $A - 3E$ 可逆，且其逆矩阵为 $B = A + E$。
答案：
矩阵 $A - 3E$ 可逆，其逆矩阵为 $\boxed{A + E}$。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的应用及矩阵可逆性的证明，需要利用给定的矩阵方程构造逆矩阵。
解题核心思路：通过给定的矩阵方程$A^2 - 2A - 4E = 0$，将$A^2$表示为$2A + 4E$，进而构造与$A-3E$相乘的矩阵，通过代数运算验证其乘积为单位矩阵，从而证明可逆性并求出逆矩阵。
破题关键点：
- 构造辅助矩阵：假设存在矩阵$B$使得$(A-3E)B = E$，通过尝试将$B$设为$A$的线性组合（如$A + E$）。
- 代入方程简化运算：利用原方程将高次项降阶，最终得到单位矩阵。
步骤1：利用原方程表达$A^2$
由题意，$A^2 = 2A + 4E$。
步骤2：构造矩阵$B = A + E$
计算$(A-3E)(A + E)$：
$\begin{aligned}(A-3E)(A + E) &= A^2 + A - 3A - 3E \\&= A^2 - 2A - 3E.\end{aligned}$
步骤3：代入$A^2 = 2A + 4E$
将$A^2$替换为$2A + 4E$：
$\begin{aligned}A^2 - 2A - 3E &= (2A + 4E) - 2A - 3E \\&= (2A - 2A) + (4E - 3E) \\&= E.\end{aligned}$
结论：
$(A-3E)(A + E) = E$，说明$A-3E$可逆，其逆矩阵为$A + E$。