4.单选题(4分)已知lim_(xtoinfty)((x^2+x+1)/(1-x)-ax-b)=0，则a=（ ），b=（ ）A. a=1,b=-2B. a=-1,b=2C. a=-1,b=-2D. a=1,b=2

本题考查极限的计算以及多项式的运算，解题思路是先对给定的式子进行通分，然后根据极限值为$0$的条件来确定$a$和$b$的值。

1. 首先对$\frac{x^{2}+x + 1}{1 - x}-ax - b$进行通分：
   • $\frac{x^{2}+x + 1}{1 - x}-ax - b=\frac{x^{2}+x + 1-(ax + b)(1 - x)}{1 - x}$
   • 展开分子$(ax + b)(1 - x)=ax - ax^{2}+b - bx$，则分子变为$x^{2}+x + 1-(ax - ax^{2}+b - bx)=x^{2}+x + 1 - ax+ax^{2}-b + bx=(1 + a)x^{2}+(1 - a + b)x+(1 - b)$。
   • 所以原式$\frac{x^{2}+x + 1}{1 - x}-ax - b=\frac{(1 + a)x^{2}+(1 - a + b)x+(1 - b)}{1 - x}$。
2. 然后根据$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{2}+x + 1}{1 - x}-ax - b\right)=0$来确定$a$和$b$的值：
   • 当$x\to\infty$时，若$1 + a\neq0$，则分子是二次函数，分母是一次函数，此时极限值为$\infty$，不满足极限值为$0$的条件，所以必须有$1 + a = 0$，解得$a=-1$。
   • 将$a = - 1$代入分子$(1 + a)x^{2}+(1 - a + b)x+(1 - b)$中，得到$(1-1)x^{2}+(1-(-1)+b)x+(1 - b)=(2 + b)x+(1 - b)$。
   • 此时原式变为$\lim_{x\to\infty}\frac{(2 + b)x+(1 - b)}{1 - x}$，当$x\to\infty$时，若$2 + b\neq0$，极限值为$\infty$，不满足极限值为$0$的条件，所以必须有$2 + b = 0$，解得$b=-2$。