(18)(本题满分12分)已知f(x)=(x|x|)/(1+x)，求f(x)的凹凸性及渐近线.

考查要点：本题主要考查函数的凹凸性判断及渐近线的求解方法。
解题思路：

1. 凹凸性：需通过二阶导数的符号确定。由于函数含绝对值，需分段讨论，分别求导并分析二阶导数的符号。
2. 渐近线：
   • 垂直渐近线：寻找分母为零且函数无定义的点。
   • 斜渐近线：当$x \to \pm\infty$时，若函数趋近于一次函数，则该一次函数为斜渐近线，需通过极限计算确定。

关键点：

• 分段处理绝对值，将函数拆分为$x \geq 0$和$x < 0$两种情况。
• 二阶导数的计算需细致，注意分母的符号及分子化简。
• 渐近线的极限计算需结合多项式展开或长除法简化表达式。

函数分段与导数计算

1. 分段表达式：

   • 当$x \geq 0$时，$f(x) = \frac{x^2}{1+x}$；
   • 当$x < 0$时，$f(x) = \frac{-x^2}{1+x}$。

2. 一阶导数：

   • $x \geq 0$：
     $f'(x) = \frac{(2x)(1+x) - x^2}{(1+x)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}.$
   • $x < 0$：
     $f'(x) = \frac{(-2x)(1+x) + x^2}{(1+x)^2} = \frac{-x^2 - 2x}{(1+x)^2}.$

3. 二阶导数：

   • $x \geq 0$：
     $f''(x) = \frac{(2x + 2)(1+x)^2 - (x^2 + 2x)(2)(1+x)}{(1+x)^4} = \frac{2}{(1+x)^3}.$
   • $x < 0$：
     $f''(x) = \frac{(-2x - 2)(1+x)^2 - (-x^2 - 2x)(2)(1+x)}{(1+x)^4} = \frac{-2}{(1+x)^3}.$

凹凸性分析

• $x \geq 0$：$f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} > 0$，故在$[0, +\infty)$上凹。
• $x < 0$：
  • 当$x < -1$时，$1+x < 0$，故$f''(x) = \frac{-2}{(1+x)^3} > 0$，凹；
  • 当$-1 < x < 0$时，$1+x > 0$，故$f''(x) = \frac{-2}{(1+x)^3} < 0$，凸。

渐近线求解

1. 垂直渐近线：
   分母$1+x = 0 \Rightarrow x = -1$，且函数在$x=-1$处无定义，故垂直渐近线为$x = -1$。

2. 斜渐近线：

   • 当$x \to +\infty$时：
     $f(x) = \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1} \to y = x - 1.$
   • 当$x \to -\infty$时：
     $f(x) = \frac{-x^2}{x+1} = -x + 1 - \frac{1}{x+1} \to y = -x + 1.$