(目标1)设随机变量X,Y相互独立,且均服从(0,1)均匀分布,则下列中服从均匀分布的是()A. (X,Y)B. X+YC. X²D. X-Y

考查要点：本题主要考查随机变量的联合分布与函数分布，特别是独立均匀分布变量的组合特性。

解题核心思路：

1. 联合分布：若两个独立随机变量均服从均匀分布，则它们的联合分布是否保持均匀性？
2. 函数变换：通过变量变换（如和、差、平方等）后的分布是否仍为均匀分布？

破题关键点：

• 选项A：独立均匀变量的联合分布天然保持均匀性。
• 选项B、C、D：需通过卷积公式或变量变换公式推导新分布，判断是否为均匀分布。

选项A：$(X, Y)$

• 联合分布：
  由于$X$和$Y$独立且均服从$(0,1)$均匀分布，其联合概率密度函数为：
  $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = 1 \cdot 1 = 1 \quad \text{在单位正方形 } [0,1] \times [0,1] \text{ 上}$
  因此，$(X,Y)$在单位正方形上服从均匀分布。

选项B：$X+Y$

• 卷积公式：
  $X+Y$的分布为三角分布，其概率密度函数为：
  $f_{X+Y}(z) = \begin{cases} z, & 0 \leq z \leq 1, \\ 2 - z, & 1 < z \leq 2. \end{cases}$
  显然不是均匀分布。

选项C：$X^2$

• 变量变换：
  设$W = X^2$，则$X = \sqrt{W}$，概率密度函数为：
  $f_W(w) = \frac{1}{2\sqrt{w}} \quad \text{在 } 0 \leq w \leq 1.$
  非常数，故非均匀分布。

选项D：$X-Y$

• 卷积公式：
  $X-Y$的分布为对称三角分布，概率密度函数为：
  $f_{X-Y}(d) = \begin{cases} 1 + d, & -1 \leq d \leq 0, \\ 1 - d, & 0 < d \leq 1. \end{cases}$
  非常数，故非均匀分布。