题目

21、设X~N(3,22),求(1).P(2<x≤5):P(-4<x≤10);P(|>2),P(x>3(2)确定c使P{x>c)=P(x≤c)

21、设X~N(3,22),求

(1).P{2<x≤5}:P{-4<x≤10};P{|>2},P{x>3

(2)确定c使P{x>c}=P{x≤c}

题目解答

答案

解析

本题主要考查正态分布的概率计算，解题的关键在于利用正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$将一般正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$转化为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，再通过标准正态分布表$\varPhi(z)$来计算相应的概率。已知$X\sim N(3,2^{2})$，则$\mu = 3$，$\sigma = 2$。

(1) 计算各概率值

  • 计算$P\{2\lt X\leqslant 5\}$
    • 首先，根据正态分布标准化公式，将$X$的取值范围转化为标准正态分布$Z$的取值范围：
      $P\{2\lt X\leqslant 5\}=P\left\{\frac{2 - 3}{2}\lt\frac{X - 3}{2}\leqslant\frac{5 - 3}{2}\right\}=P\left\{-\frac{1}{2}\lt Z\leqslant 1\right\}$
    • 然后，利用标准正态分布的性质$P\{a\lt Z\leqslant b\}=\varPhi(b)-\varPhi(a)$，可得：
      $P\left\{-\frac{1}{2}\lt Z\leqslant 1\right\}=\varPhi(1)-\varPhi\left(-\frac{1}{2}\right)$
    • 又因为标准正态分布具有对称性，即$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi\left(-\frac{1}{2}\right)=1 - \varPhi\left(\frac{1}{2}\right)$，则：
      $P\{2\lt X\leqslant 5\}=\varPhi(1)-\left(1 - \varPhi\left(\frac{1}{2}\right)\right)=\varPhi(1)+\varPhi\left(\frac{1}{2}\right)-1$
    • 查标准正态分布表可得$\varPhi(1)=0.8413$，$\varPhi\left(\frac{1}{2}\right)=0.6915$，代入上式可得：
      $P\{2\lt X\leqslant 5\}=0.8413 + 0.6915 - 1 = 0.5328$
  • 计算$P\{-4\lt X\leqslant 10\}$
    • 同样先进行标准化：
      $P\{-4\lt X\leqslant 10\}=P\left\{\frac{-4 - 3}{2}\lt\frac{X - 3}{2}\leqslant\frac{10 - 3}{2}\right\}=P\left\{-3.5\lt Z\leqslant 3.5\right\}$
    • 再根据标准正态分布性质可得：
      $P\left\{-3.5\lt Z\leqslant 3.5\right\}=\varPhi(3.5)-\varPhi(-3.5)$
    • 由对称性$\varPhi(-3.5)=1 - \varPhi(3.5)$，则：
      $P\{-4\lt X\leqslant 10\}=\varPhi(3.5)-(1 - \varPhi(3.5))=2\varPhi(3.5)-1$
    • 查标准正态分布表得$\varPhi(3.5)=0.9998$，代入可得：
      $P\{-4\lt X\leqslant 10\}=2\times0.9998 - 1 = 0.9996$
  • 计算$P\{|X|\gt 2\}$
    • 因为$\{ |X|\gt 2\} = \{ X\lt -2\} \cup \{ X\gt 2\}$，且$\{ X\lt -2\}$与$\{ X\gt 2\}$互斥，所以$P\{|X|\gt 2\}=P\{X\lt -2\}+P\{X\gt 2\}$。
    • 分别进行标准化：
      $P\{X\lt -2\}=P\left\{\frac{X - 3}{2}\lt\frac{-2 - 3}{2}\right\}=P\left\{Z\lt -2.5\right\}=\varPhi(-2.5)$
      $P\{X\gt 2\}=1 - P\{X\leqslant 2\}=1 - P\left\{\frac{X - 3}{2}\leqslant\frac{2 - 3}{2}\right\}=1 - P\left\{Z\leqslant -0.5\right\}=1 - \varPhi(-0.5)$
    • 由对称性$\varPhi(-2.5)=1 - \varPhi(2.5)$，$\varPhi(-0.5)=1 - \varPhi(0.5)$，则：
      $P\{|X|\gt 2\}=(1 - \varPhi(2.5))+(1 - (1 - \varPhi(0.5)))=1 - \varPhi(2.5)+\varPhi(0.5)$
    • 查标准正态分布表得$\varPhi(2.5)=0.9938$，$\varPhi(0.5)=0.6915$，代入可得：
      $P\{|X|\gt 2\}=1 - 0.9938 + 0.6915 = 0.6977$
  • 计算$P\{X\gt 3\}$
    • 进行标准化：
      $P\{X\gt 3\}=1 - P\{X\leqslant 3\}=1 - P\left\{\frac{X - 3}{2}\leqslant\frac{3 - 3}{2}\right\}=1 - P\{Z\leqslant 0\}$
    • 查标准正态分布表得$\varPhi(0)=0.5$，所以：
      $P\{X\gt 3\}=1 - 0.5 = 0.5$

(2) 确定$c$的值

已知$P\{X\gt c\}=P\{X\leqslant c\}$，又因为$P\{X\gt c\}+P\{X\leqslant c\}=1$，所以可得：
$1 = 2P\{X\leqslant c\}$
即$P\{X\leqslant c\}=\frac{1}{2}$
进行标准化：
$P\{X\leqslant c\}=P\left\{\frac{X - 3}{2}\leqslant\frac{c - 3}{2}\right\}=\varPhi\left(\frac{c - 3}{2}\right)=\frac{1}{2}$
查标准正态分布表可知$\varPhi(0)=\frac{1}{2}$，所以$\frac{c - 3}{2}=0$，解得$c = 3$。