题目

已知：((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(k))sim (N)_(k)(mu ,sum _(k))且((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(k))sim (N)_(k)(mu ,sum _(k)),则A ((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(k))sim (N)_(k)(mu ,sum _(k))两两互不相关，但不独立。B ((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(k))sim (N)_(k)(mu ,sum _(k))两两独立，但不相互独立。C ((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(k))sim (N)_(k)(mu ,sum _(k))，且相互独立D ((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(k))sim (N)_(k)(mu ,sum _(k))，且不相互独立。

已知：且,则

A 两两互不相关，但不独立。

B 两两独立，但不相互独立。

C ，且相互独立

D ，且不相互独立。

题目解答

答案

AC

首先，已知，其中

这里的 表示协方差矩阵，而表示 k 阶单位矩阵。

根据多元正态分布的性质：

1. 期望向量为零：

2. 协方差矩阵为单位矩阵：，表示各个随机变量之间的协方差都为零，即两两不相关。

现在我们来逐个选项进行判断：

A. 两两互不相关，但不独立。

由于，即各个随机变量之间的协方差都为零，所以它们确实是两两不相关的。但是不独立，因为任意两个随机变量的联合分布并不是各自的边缘分布。

B.  两两独立，但不相互独立。

这个说法是错误的，因为两两独立意味着任意两个随机变量之间都是独立的，但它们已经被确定为两两不相关。

C. ，且相互独立。

这是正确的，因为根据题目给出的信息，各个随机变量 都服从均值为0，方差为1的正态分布，且它们相互独立。

D. 且不相互独立。

这个说法也是错误的，因为根据题目给出的信息，各个随机变量相互独立。

综上所述，正确答案是 C。

解析

考查要点：本题主要考查多元正态分布的性质，特别是协方差矩阵为单位矩阵时的变量独立性判断。

解题核心思路：

  1. 协方差矩阵为单位矩阵意味着每个变量的方差为1，且变量之间两两协方差为0，即两两不相关。
  2. 多元正态分布的独立性判定：在多元正态分布中，变量两两不相关等价于相互独立。因此，若协方差矩阵为单位矩阵，变量不仅两两不相关，而且相互独立。

破题关键点：

  • 明确协方差矩阵为单位矩阵时，变量的独立性与正态分布的关系。
  • 区分“不相关”与“独立”在多元正态分布中的等价性。

已知条件：

  • 随机向量 $(X_1, X_2, \cdots, X_k) \sim N_k(\mu, \Sigma)$，其中 $\mu = 0$，$\Sigma = I_k$（$k$ 阶单位矩阵）。
  • 协方差矩阵 $\Sigma = I_k$ 表示：
    • 每个变量 $X_i$ 的方差为1（对角线元素为1）。
    • 变量之间两两协方差为0（非对角线元素为0），即两两不相关。

选项分析：

  1. 选项A：

    • “两两互不相关”正确（协方差为0）。
    • “但不独立”错误。因为在多元正态分布中，不相关 $\Rightarrow$ 独立，因此变量是独立的。
      结论：错误。

  2. 选项B：

    • “两两独立”与“不相互独立”矛盾。若两两独立，则在多元正态分布下必然相互独立。
      结论：错误。

  3. 选项C：

    • 每个 $X_i \sim N(0,1)$（均值为0，方差为1）。
    • 变量相互独立（由多元正态分布的独立性判定）。
      结论：正确。

  4. 选项D：

    • “不相互独立”错误，因为变量实际是独立的。
      结论：错误。