在数字通信中,发报机分别以0.7和0.3的概率发出信号'1'和'0'.由于存在随机干扰,当发出'1'时,收到'1'和'0'的概率分别为90%和10% ;发出'0'时,收到'0'和'1'的概率分别为80%和20%.现已知收到信号'1',问发出的确实是信号'1'的概率.

要计算发出信号'1'的概率，假设事件A表示发出'1'，事件B表示收到'1'，我们可以使用贝叶斯定理来求解：

我们要计算的是在收到信号'1'的情况下，发出的确实是信号'1'的概率，即P(A|B)。

根据贝叶斯定理：

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

其中，

P(B|A) 表示在发出'1'的情况下，收到'1'的概率。

P(A) 表示发出'1'的概率。

P(B) 表示收到'1'的总概率，可以通过全概率公式计算。

首先计算 P(B)：

其中，

 表示在发出'0'的情况下，收到'1'的概率。

P(¬A) 表示发出'0'的概率，即 1 - P(A)。

现在，根据提供的条件：

P(A) = 0.7（发出'1'的概率）

P(B|A) = 0.9（在发出'1'的情况下，收到'1'的概率）

（在发出'0'的情况下，收到'1'的概率）

代入公式计算 P(B)：

P(B) = (0.9 * 0.7) + (0.2 * 0.3) = 0.63 + 0.06 = 0.69

现在，可以使用贝叶斯定理计算 P(A|B)：

P(A|B) = (0.9 * 0.7) / 0.69 ≈ 0.9145

所以，发出的确实是信号'1'的概率约为 0.9145，或者可以表示为 91.45%。