设 (X,Y) 的联合概率密度是 f(x,y)=} (1)/(pi), & x^2 + y^2 leq 1 0, & (其它) ，则 X 与 Y 为 ( ) 的随机变量。A) 独立同分布； B) 独立不同分布； C) 不独立同分布； D) 不独立也不同分布
设 $(X,Y)$ 的联合概率密度是 $f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$，则 $X$ 与 $Y$ 为 ( ) 的随机变量。 A) 独立同分布； B) 独立不同分布； C) 不独立同分布； D) 不独立也不同分布
题目解答
答案
我们来逐步分析这道题目。
题目给出：
二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为：
$f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\0, & \text{其它}\end{cases}$
也就是说，$(X, Y)$ 在单位圆 $x^2 + y^2 \leq 1$ 上服从均匀分布，密度为常数 $\frac{1}{\pi}$，因为单位圆的面积是 $\pi$，所以归一化后密度为 $\frac{1}{\pi}$，保证总积分为1。
第一步：判断 $X$ 和 $Y$ 是否同分布
我们先求 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布，看它们是否相同。
求 $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$
边缘密度是联合密度对 $y$ 积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy$
由于 $f(x, y) = \frac{1}{\pi}$ 当且仅当 $x^2 + y^2 \leq 1$，即 $y^2 \leq 1 - x^2$，所以对于固定的 $x$，$y$ 的取值范围是 $[-\sqrt{1 - x^2}, \sqrt{1 - x^2}]$，且要求 $|x| \leq 1$。
所以：
$f_X(x) = \begin{cases}\int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} \frac{1}{\pi} \, dy = \frac{2\sqrt{1 - x^2}}{\pi}, & |x| \leq 1 \\0, & \text{其它}\end{cases}$
求 $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$
同理：
$f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}} \frac{1}{\pi} \, dx = \frac{2\sqrt{1 - y^2}}{\pi}, \quad |y| \leq 1$
可见，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 的表达式形式完全相同，只是变量名不同。
因此，$X$ 和 $Y$ 同分布。
第二步：判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立
两个随机变量独立的充要条件是：
$f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), \quad \text{对所有 } x, y$
我们来验证这个等式是否成立。
取一个具体的点来检验，比如原点 $(0, 0)$：
- 联合密度：$f(0, 0) = \frac{1}{\pi}$
- 边缘密度：
- $f_X(0) = \frac{2\sqrt{1 - 0}}{\pi} = \frac{2}{\pi}$
- $f_Y(0) = \frac{2}{\pi}$
- 乘积：$f_X(0) f_Y(0) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^2}$
比较：
$\frac{1}{\pi} \quad \text{vs} \quad \frac{4}{\pi^2}$
数值上：
- $\frac{1}{\pi} \approx 0.318$
- $\frac{4}{\pi^2} \approx \frac{4}{9.87} \approx 0.405$
显然不相等：$\frac{1}{\pi} \ne \frac{4}{\pi^2}$
所以：
$f(0,0) \ne f_X(0) f_Y(0)$
因此，$X$ 与 $Y$ 不独立。
结论：
- $X$ 与 $Y$ 同分布（边缘密度形式一样）
- $X$ 与 $Y$ 不独立
所以应选择：
$\boxed{\text{C) 不独立同分布}}$
最终答案：
$\boxed{C}$
解析
本题考查二维随机变量的独立性和同分布的判断。解题思路是先分别求出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数，通过比较边缘概率密度函数的形式判断 $X$ 和 $Y$ 是否同分布；再根据随机变量独立的充要条件 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 来判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立。
第一步：求 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数
- 求 $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$
根据边缘概率密度函数的定义，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy$。
已知联合概率密度函数 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\pi},&x^2 + y^2 \leq 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$，对于固定的 $x$，由 $x^2 + y^2 \leq 1$ 可得 $y^2 \leq 1 - x^2$，即 $y$ 的取值范围是 $[-\sqrt{1 - x^2},\sqrt{1 - x^2}]$，且 $|x| \leq 1$。
当 $|x| \leq 1$ 时，$f_X(x)=\int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}}\frac{1}{\pi}dy$，根据定积分的计算法则 $\int_{a}^{b}kdy=k(b - a)$（$k$ 为常数），可得：
$f_X(x)=\frac{1}{\pi}\times的y的区间长度=\frac{1}{\pi}\times( \sqrt{1 - x^2}-(-\sqrt{1 - x^2}))=\frac{2\sqrt{1 - x^2}}{\pi}$
当 $|x|>1$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}0dy = 0$。
综上，$f_X(x)=\begin{cases}\frac{2\sqrt{1 - x^2}}{\pi},&|x| \leq 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$。 - 求 $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$
同理，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx$。
对于固定的 $y$，由 $x^2 + y^2 \leq 1$ 可得 $x^2 \leq 1 - y^2$，即 $x$ 的取值范围是 $[-\sqrt{1 - y^2},\sqrt{1 - y^2}]$，且 $|y| \leq 1$。
当 $|y| \leq 1$ 时，$f_Y(y)=\int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}}\frac{1}{\pi}dx=\frac{1}{\pi}\times( \sqrt{1 - y^2}-(-\sqrt{1 - y^2}))=\frac{2\sqrt{1 - y^2}}{\pi}$
当 $|y|>1$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}0dx = 0$。
综上，$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{2\sqrt{1 - y^2}}{\pi},&|y| \leq 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$。
由于 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 的表达式形式完全相同，只是变量名不同，所以 $X$ 和 $Y$ 同分布。
第二步：判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立
随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立的充要条件是 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 对所有 $x,y$ 都成立。
取点 $(0,0)$ 进行验证：
- 联合概率密度：$f(0,0)=\frac{1}{\pi}$
- 边缘概率密度：$f_X(0)=\frac{2\sqrt{1 - 0^2}}{\pi}=\frac{2}{\pi}$，$f_Y(0)=\frac{2需求}{2\sqrt{1 - 0^2}}{\pi}=\frac{2}{\pi}$
- 乘积：$f_X(0)f_Y(0)=\frac{2}{\pi}\times\frac{2}{\pi}=\frac{4}{\pi^2}$
因为 $\frac{1}{\pi}\neq\frac{4}{\pi^2}$，即 $f(0,0)\neq f_X(0)f_Y(0)$，所以 $X$ 与 $Y$ 不独立。