题目
随机变量X服从[0,θ]上的均匀分布,今得X的样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,-|||-0.4,0.7,0.6,求θ的矩估计值和极大似然估计值;相应的矩估计量和极大似然估计量是否为θ-|||-的无偏估计量?
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩估计
矩估计是通过样本矩来估计总体参数的方法。对于均匀分布$U(0, \theta)$，其一阶矩（即均值）为$\frac{\theta}{2}$。因此，我们可以通过样本均值来估计$\theta$。
步骤 2：计算样本均值
样本观测值为0.9, 0.8, 0.2, 0.8, 0.4, 0.4, 0.7, 0.6。样本均值$\bar{x} = \frac{0.9 + 0.8 + 0.2 + 0.8 + 0.4 + 0.4 + 0.7 + 0.6}{8} = \frac{4.8}{8} = 0.6$。
步骤 3：求解$\theta$的矩估计值
根据矩估计原理，$\frac{\theta}{2} = \bar{x}$，因此$\theta = 2\bar{x} = 2 \times 0.6 = 1.2$。
步骤 4：极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于均匀分布$U(0, \theta)$，似然函数$L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$，其中$n$是样本量。似然函数在$\theta$取样本最大值时达到最大，因此$\theta$的极大似然估计值为样本最大值。
步骤 5：计算极大似然估计值
样本观测值的最大值为0.9，因此$\theta$的极大似然估计值为0.9。
步骤 6：判断无偏性
矩估计量$\hat{\theta} = 2\bar{X}$，其期望$E(\hat{\theta}) = 2E(\bar{X}) = 2\frac{\theta}{2} = \theta$，因此矩估计量是$\theta$的无偏估计。极大似然估计量$\hat{\theta} = X_{(n)}$，其期望$E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta$，因此极大似然估计量不是$\theta$的无偏估计。
矩估计是通过样本矩来估计总体参数的方法。对于均匀分布$U(0, \theta)$，其一阶矩（即均值）为$\frac{\theta}{2}$。因此，我们可以通过样本均值来估计$\theta$。
步骤 2：计算样本均值
样本观测值为0.9, 0.8, 0.2, 0.8, 0.4, 0.4, 0.7, 0.6。样本均值$\bar{x} = \frac{0.9 + 0.8 + 0.2 + 0.8 + 0.4 + 0.4 + 0.7 + 0.6}{8} = \frac{4.8}{8} = 0.6$。
步骤 3：求解$\theta$的矩估计值
根据矩估计原理，$\frac{\theta}{2} = \bar{x}$，因此$\theta = 2\bar{x} = 2 \times 0.6 = 1.2$。
步骤 4：极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于均匀分布$U(0, \theta)$，似然函数$L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$，其中$n$是样本量。似然函数在$\theta$取样本最大值时达到最大，因此$\theta$的极大似然估计值为样本最大值。
步骤 5：计算极大似然估计值
样本观测值的最大值为0.9，因此$\theta$的极大似然估计值为0.9。
步骤 6：判断无偏性
矩估计量$\hat{\theta} = 2\bar{X}$，其期望$E(\hat{\theta}) = 2E(\bar{X}) = 2\frac{\theta}{2} = \theta$，因此矩估计量是$\theta$的无偏估计。极大似然估计量$\hat{\theta} = X_{(n)}$，其期望$E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta$，因此极大似然估计量不是$\theta$的无偏估计。