5.6 一工厂生产的电子管寿命X（以小时计算）服从期望值μ=160的正态分布，若要求P(120< X<200)≥0.08，允许的标准差σ最大为多少？

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的概率计算和反查标准正态分布表的知识点。解题的关键思路是先将给定的非标准正态分布转化为标准正态分布，然后利用标准正态分布的性质和概率关系建立不等式，最后通过查标准正态分布表求解出标准差$\sigma$的取值范围。

1. 将非标准正态分布转化为标准正态分布：
   已知电子管寿命$X$服从正态分布$N(160, \sigma^2)$，根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差），对于$P(120 < X < 200)$，有：
   $P(120 < X < 200) = P\left(\frac{120 - 160}{\sigma} < \frac{X - 160}{\sigma} < \frac{200 - 160}{\sigma}\right)$
   令$Z = \frac{X - 160}{\sigma}$，$Z$服从标准正态分布$N(0, 1)$，则$P(120 < X < 200) = P\left(-\frac{40}{\sigma} < Z < \frac{40}{\sigma}\right)$。
2. 利用标准正态分布的性质计算概率：
   标准正态分布的分布函数为$\Phi(z)$，且$P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$，同时$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$。
   所以$P\left(-\frac{40}{\sigma} < Z < \frac{40}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{40}{\sigma}\right)$
   将$\Phi\left(-\frac{40}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right)$代入上式可得：
   $P\left(-\frac{40}{\sigma} < Z < \frac{40}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right) - (1 - \Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right)) = 2\Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right) - 1$
3. 建立不等式并求解：
   已知$P(120 < X < 200) \geq 0.8$，即$2\Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right) - 1 \geq 0.8$。
   移项可得$2\Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right) \geq 0.8 + 1 = 1.8$，两边同时除以$2$得$\Phi\left(\frac{40}{\sigma}\right) \geq 0.9$。
4. 查标准正态分布表确定$\frac{40}{\sigma}$的取值范围：
   查标准正态分布表可得$\Phi(1.28) \approx 0.9$，因为标准正态分布函数$\Phi(z)$是单调递增的，所以$\frac{40}{\sigma} \geq 1.28$。
5. 求解$\sigma$的取值范围：
   由$\frac{40}{\sigma} \geq 1.28$，两边同时乘以$\sigma$（$\sigma > 0$）得$40 \geq 1.28\sigma$，再两边同时除以$1.28$，解得$\sigma \leq \frac{40}{1.28} = 31.25$。