题目

检验下列模型的平稳性与可逆性，其中 varepsilon_t 为白噪声序列：(1) x_t = 0.5x_(t-1) + 1.2x_(t-2) + varepsilon_t(2) x_t = 1.1x_(t-1) - 0.3x_(t-2) + varepsilon_t(3) x_t = varepsilon_t - 0.9varepsilon_(t-1) + 0.3varepsilon_(t-2)(4) x_t = varepsilon_t + 1.3varepsilon_(t-1) - 0.4varepsilon_(t-2)(5) x_t = 0.7x_(t-1) + varepsilon_t - 0.6varepsilon_(t-1)(6) x_t = -0.8x_(t-1) + 0.5x_(t-2) + varepsilon_t - 1.1varepsilon_(t-1)

检验下列模型的平稳性与可逆性，其中 $\{\varepsilon_t\}$ 为白噪声序列： (1) $x_t = 0.5x_{t-1} + 1.2x_{t-2} + \varepsilon_t$ (2) $x_t = 1.1x_{t-1} - 0.3x_{t-2} + \varepsilon_t$ (3) $x_t = \varepsilon_t - 0.9\varepsilon_{t-1} + 0.3\varepsilon_{t-2}$ (4) $x_t = \varepsilon_t + 1.3\varepsilon_{t-1} - 0.4\varepsilon_{t-2}$ (5) $x_t = 0.7x_{t-1} + \varepsilon_t - 0.6\varepsilon_{t-1}$ (6) $x_t = -0.8x_{t-1} + 0.5x_{t-2} + \varepsilon_t - 1.1\varepsilon_{t-1}$

题目解答

答案

(1) 特征方程 $1 - 0.5z - 1.2z^2 = 0$ 的根为 $z_1 \approx 0.728$，$z_2 \approx -1.145$，其中 $|z_1| < 1$，故非平稳。移动平均部分无根，可逆。 (2) 特征方程 $1 - 1.1z + 0.3z^2 = 0$ 的根为 $z_1 = 2$，$z_2 \approx 1.667$，均大于1，故平稳。移动平均部分无根，可逆。 (3) 特征方程 $1 - 0.9z + 0.3z^2 = 0$ 的根模大于1，故可逆。自回归部分无根，平稳。 (4) 特征方程 $1 + 1.3z - 0.4z^2 = 0$ 的根为 $z_1 \approx -0.6425$，$z_2 \approx 4.0175$，其中 $|z_1| < 1$，故非可逆。自回归部分无根，平稳。 (5) 特征方程 $1 - 0.7z = 0$ 的根为 $z \approx 1.4286$，大于1，故平稳。移动平均部分根为 $z \approx 1.6667$，大于1，故可逆。 (6) 特征方程 $1 + 0.8z - 0.5z^2 = 0$ 的根为 $z_1 \approx -0.825$，$z_2 \approx 2.425$，其中 $|z_1| < 1$，故非平稳。移动平均部分根为 $z \approx 0.9091$，小于1，故非可逆。 \[ \boxed{ \begin{array}{cccccc} \text{(1) 非平稳，可逆} \\ \text{(2) 平稳，可逆} \\ \text{(3) 平稳，可逆} \\ \text{(4) 平稳，非可逆} \\ \text{(5) 平稳，可逆} \\ \text{(6) 非平稳，非可逆} \\ \end{array} } \]

解析

考察知识

ARMA模型的平稳性与可逆性判定：

  • 平稳性：AR部分特征方程的根均在单位圆外（根的模>1）。
  • 可逆性：MA部分特征方程的根均在单位圆外（根的模>1）。

题目分析

(1. $x_t = 0.5x_{t-1} + 1.2x_{t-2} + \varepsilon_t$ )（

  • AR(2)模型，特征方程：$1 - 0.5z - 1.2z^2}=0$
  • 求根：$z=\frac{0.5\pm\sqrt{0.25+5.4}}{-2.4}$，得得$z_1\approx0.728$（$|z_1|<1$）、$z_2\approx-1.145$（$|z_2|>1$）
  • 平稳性：存在根在单位圆内，非平稳。
  • 可逆性：无MA部分，可逆。

(2. $x_t = 1.1x_{t-1} - 0.3x_{t-2} + \varepsilon_t$ )（

  • AR(2)模型，特征方程：$1 - 1.1z + 0.3z^2=0$
  • 求根：$z=\frac{1.1\pm\sqrt{1.21-1.2}}{0.6}$，得$z_1=2$、$z_2\approx1.6667$（均$|z|>1$）
  • 平稳性：所有根在单位圆外，平稳。
  • 可逆性：无MA部分，可逆。#### (3. $x_t = \varepsilon_t - 0.9\varepsilon_{t-1 + 0.3\varepsilon_{t-2}$ )（
  • MA(2)模型，特征方程：$1 - 0.9z + 0.3z^2=0$
  • 求根：$z=\frac{0.9\pm\sqrt{0.81-1.2}\}/0.6$，根模均>1
  • 可逆性：可逆。
  • 平稳性：无AR部分，平稳。#### (4. $x_t = \varepsilon_t + 1.3\varepsilon_{t-1} - 0.4\varepsilon_{t-2}$ )（
  • MA(2模型，特征方程：$1 + 1.3z - 0.4z^2=0$
  • 求根：$z_1\approx-0.6425$（$|z_1|<1$）、$z_2≈4.0175$（$|z_2|>1$）
  • 可逆性：存在根在单位圆内，非可逆。
  • 平稳性：无AR部分，平稳。#### (5. $x_t = 0..7x_{t-1} + \varepsilon_t - 0.6\varepsilon_{t-1}$ )（
  • **AR(1)+MA(1)模型：
    • AR部分：特征方程$1 - 0.7z=0)，根\(z≈1.4286>1$，平稳。
    • MA部分：特征方程$1)，根\(z≈1.6667>1$，可逆。#### (6. $x_t = -0.8x_{t-1} + 0.5x_{t-2} + \varepsilon_t - 1.1\varepsilon_{t-1}$ )（
  • AR(2)+MA(1)模型：
    • AR部分：特征方程$1 + 0.8z - 0.5z^2=0$，根$z_1≈-0.825$（$|z_1|<1$）、$z_2≈2.42>1$，非平稳。
    • MA部分：特征方程$1 - 1.1z=0$，根$z≈0.90.909<1$，非可逆。