33.填空题 lim_(ntoinfty)(3)/(6^n)-2=

本题考查数列极限的计算。解题思路是通过分析当$n$趋于无穷大时，分子分母的变化趋势来求解极限。可以采用近似计算或者分子分母同除一个适当的式子的方法。

方法一：近似计算

当$n \to \infty$时，$6^n$增长速度极快，$6^n - 2$与$6^n$相比，$-2$可以忽略不计，即$6^n - 2 \approx 6^n$。
那么原式$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{6^{n}-2}$可近似为$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{6^{n}}$。
根据极限运算法则$\lim_{n \to \infty} c\cdot a_n = c\cdot\lim_{n \to \infty} a_n$（$c$为常数），这里$c = 3$，$a_n=\frac{1}{6^n}$。
因为指数函数$y = a^x$（$a>1$），当$x\to\infty$时，$y\to\infty$，所以$\lim_{n \to \infty} 6^n = \infty$，则$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6^n} = 0$。
所以$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{6^{n}} = 3\cdot\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6^n}=3\times0 = 0$。

方法二：分子分母同除$6^n$

对原式$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{6^{n}-2}$，分子分母同时除以$6^n$，得到$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{6^n}}{\frac{6^n}{6^n}-\frac{2}{6^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{6^n}}{1 - \frac{2}{6^n}}$。
由前面分析可知$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{6^n} = 0$，$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{6^n} = 0$。
再根据极限运算法则$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}$（$\lim_{n \to \infty} b_n\neq0$），可得$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{6^n}}{1 - \frac{2}{6^n}}=\frac{\lim_{n \to \infty} \frac{3}{6^n}}{\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{6^n})}=\frac{0}{1 - 0} = 0$。