极限 lim_(x to 0) (x arctan (1)/(x) - (arctan x)/(x) )=A. -1B. 1C. 0D. 2

考查要点：本题主要考查极限的拆分与计算，涉及反三角函数的性质、等价无穷小替换以及左右极限的分析。

解题核心思路：

1. 拆分极限：将原式拆分为两个部分分别求极限，再相减。
2. 分析第一部分：利用反三角函数$\arctan$的有界性，结合无穷小量乘以有界量的性质，判断极限为0。
3. 分析第二部分：通过泰勒展开或等价无穷小替换，快速求出$\arctan x$的近似表达式，进而求出极限值。
4. 综合结果：将两部分的极限结果相减，得到最终答案。

破题关键点：

• 第一部分的关键在于明确$\arctan \frac{1}{x}$在$x \to 0^+$和$x \to 0^-$时的取值范围，结合$x$的无穷小性判断乘积的极限。
• 第二部分需熟练应用等价无穷小替换或泰勒展开，快速化简表达式。

将原极限拆分为两部分分别计算：

第一部分：$\lim_{x \to 0} x \arctan \frac{1}{x}$

1. 当$x \to 0^+$时：
   $\frac{1}{x} \to +\infty$，故$\arctan \frac{1}{x} \to \frac{\pi}{2}$，此时$x \arctan \frac{1}{x} \approx x \cdot \frac{\pi}{2} \to 0$。

2. 当$x \to 0^-$时：
   $\frac{1}{x} \to -\infty$，故$\arctan \frac{1}{x} \to -\frac{\pi}{2}$，此时$x \arctan \frac{1}{x} \approx x \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) \to 0$。

结论：$\lim_{x \to 0} x \arctan \frac{1}{x} = 0$。

第二部分：$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$

利用泰勒展开$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \cdots$，当$x \to 0$时，$\arctan x \approx x$，因此：
$\frac{\arctan x}{x} \approx \frac{x}{x} = 1.$

结论：$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$。

综合结果

将两部分相减：
$\lim_{x \to 0} \left( x \arctan \frac{1}{x} - \frac{\arctan x}{x} \right) = 0 - 1 = -1.$