题目
已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间 [0，4 ]和[2 , 6]上服从均匀分布，则E(XY)=( ) 。A 10B 6 C 8 D 12
已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间 [0，4 ]和[2 , 6]上服从均匀分布，则E(XY)=( ) 。
A 10
B 6
C 8
D 12
题目解答
答案
∵随机变量X和Y分别在区间 [0，4 ]和[2 , 6]上服从均匀分布；
∴根据均匀分布的性质，可以求得E(X)=
E(Y)=
；
又∵随机变量X和Y相互独立，则根据随机变量独立性性质，有E(XY)=E(X)E(Y)=
。
故答案选C。
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的期望值
根据均匀分布的性质，随机变量X在区间[0, 4]上服从均匀分布，其期望值E(X)为区间的中点，即E(X)=$\dfrac{0+4}{2}=2$。同理，随机变量Y在区间[2, 6]上服从均匀分布，其期望值E(Y)为区间的中点，即E(Y)=$\dfrac{2+6}{2}=4$。
步骤 2：利用随机变量独立性性质求E(XY)
由于随机变量X和Y相互独立，根据随机变量独立性性质，有E(XY)=E(X)E(Y)。将步骤1中求得的期望值代入，得到E(XY)=2×4=8。
根据均匀分布的性质，随机变量X在区间[0, 4]上服从均匀分布，其期望值E(X)为区间的中点，即E(X)=$\dfrac{0+4}{2}=2$。同理，随机变量Y在区间[2, 6]上服从均匀分布，其期望值E(Y)为区间的中点，即E(Y)=$\dfrac{2+6}{2}=4$。
步骤 2：利用随机变量独立性性质求E(XY)
由于随机变量X和Y相互独立，根据随机变量独立性性质，有E(XY)=E(X)E(Y)。将步骤1中求得的期望值代入，得到E(XY)=2×4=8。