设三阶方阵A的特征值为1、2、2，则|4A^-1-E|=()A. 1B. 5C. 2D. 3

本题考查方阵特征值的性质以及逆矩阵和伴随矩阵的相关知识。解题的关键思路是先根据方阵特征值的性质求出$A^{-1}$的特征值，再求出$4A^{-1}-E$的特征值，最后利用方阵的行列式等于其所有特征值的乘积来计算$\vert 4A^{-1}-E\vert$。

1. 求$A^{-1}$的特征值：
   已知方阵$A$的特征值为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$，$\lambda_3 = 2$。
   根据方阵特征值的性质：若$\lambda$是方阵$A$的特征值，则$\frac{1}{\lambda}$是$A^{-1}$的特征值。
   所以$A^{-1}$的特征值分别为$\mu_1=\frac{1}{\lambda_1}=\frac{1}{1}=1$，$\mu_2=\frac{1}{\lambda_2}=\frac{1}{2}$，$\mu_3=\frac{1}{\lambda_3}=\frac{1}{2}$。
2. 求$4A^{-1}-E$的特征值：
   设$f(A)=4A^{-1}-E$，若$\mu$是$A^{-1}$的特征值，则$f(A)$的特征值为$f(\mu)=4\mu - 1$。
   将$A^{-1}$的特征值$\mu_1 = 1$，$\mu_2 = \frac{1}{2}$，$\mu_3 = \frac{1}{2}$分别代入$f(\mu)$可得：
   • 当$\mu_1 = 1$时，$f(\mu_1)=4\times1 - 1=3$。
   • 当$\mu_2 = \frac{1}{2}$时，$f(\mu_2)=4\times\frac{1}{2} - 1=2 - 1 = 1$。
   • 当$\mu_3 = \frac{1}{2}$时，$f(\mu_3)=4\times\frac{1}{2} - 1=2 - 1 = 1$。
     所以$4A^{-1}-E$的特征值为$3$，$1$，$1$。
3. 计算$\vert 4A^{-1}-E\vert$：
   根据方阵的行列式等于其所有特征值的乘积，可得：
   $\vert 4A^{-1}-E\vert = 3\times1\times1 = 3$。