题目

10. 设随机变量X,Y相互独立，且分别服从参数为lambda_(1),lambda_(2)的泊松分布，则D(3X-2Y)=【】

10. 设随机变量X,Y相互独立，且分别服从参数为$\lambda_{1},\lambda_{2}$的泊松分布，则D(3X-2Y)=【】

题目解答

答案

为了求解 $ D(3X - 2Y) $，我们需要使用随机变量的方差性质。对于两个独立的随机变量 $ X $ 和 $ Y $，以及常数 $ a $ 和 $ b $，方差的性质如下： \[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) \] 在这个问题中，我们有 $ a = 3 $， $ b = -2 $， $ X $ 服从参数为 $ \lambda_1 $ 的泊松分布， $ Y $ 服从参数为 $ \lambda_2 $ 的泊松分布。泊松分布的方差等于其参数，因此 $ D(X) = \lambda_1 $ 和 $ D(Y) = \lambda_2 $。 将这些值代入方差的性质中，我们得到： \[ D(3X - 2Y) = 3^2D(X) + (-2)^2D(Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9\lambda_1 + 4\lambda_2 \] 因此，答案是： \[ \boxed{9\lambda_1 + 4\lambda_2} \]

解析

考查要点：本题主要考查泊松分布的方差性质以及随机变量线性组合的方差计算。

解题核心思路：

  1. 泊松分布的方差：若随机变量服从参数为$\lambda$的泊松分布，则其方差$D(X) = \lambda$。
  2. 方差的线性性质：对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，以及常数$a$和$b$，有$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$。

破题关键点：

  • 明确泊松分布的方差等于其参数。
  • 正确应用方差的线性性质，注意系数的平方和独立性带来的协方差为零。

  1. 确定泊松分布的方差
    由题意，$X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$，$Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$，因此：
    $D(X) = \lambda_1, \quad D(Y) = \lambda_2.$

  2. 应用方差的线性性质
    根据方差性质，对$3X - 2Y$计算方差：
    $\begin{aligned} D(3X - 2Y) &= D(3X) + D(-2Y) \quad \text{（独立变量方差可加）} \\ &= 3^2D(X) + (-2)^2D(Y) \quad \text{（方差对系数取平方）} \\ &= 9\lambda_1 + 4\lambda_2. \end{aligned}$