41.（2.0分）已知A,B均为n阶方阵，且AB=A+B，则A-E可逆(E为单位矩阵).A. 对B. 错

本题考查矩阵可逆的判定，解题思路是通过对已知等式$AB = A + B$进行变形，构造出与$A - E$相关的等式，再根据可逆矩阵的定义来判断$A - E$是否可逆。

1. 对已知等式$AB = A + B$进行移项可得：
   • $AB - A - B = 0$。
2. 为了构造出$A - E$的形式，在等式两边同时加上单位矩阵$E$：
   • $AB - A - B + E = E$。
3. 对等式左边进行因式分解：
   • $A(B - E)-(B - E)=E$。
   • 根据乘法分配律$ac - bc=(a - b)c$，进一步得到$(A - E)(B - E)=E$。
4. 根据可逆矩阵的定义：
   • 对于$n$阶方阵$M$和$N$，若$MN = E$，则称$M$可逆，且$M^{-1}=N$，$N$也可逆，且$N^{-1}=M$。
   • 因为$(A - E)(B - E)=E$，所以$A - E$可逆，且$(A - E)^{-1}=B - E$。