题目
设样本 X_1, X_2, ..., X_n 来自总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 未知。计算置信度为 1-alpha 的 mu 置信区间所用统计量为()。A. U = (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n))B. T = (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n))C. chi^2 = ((n-1)S^2)/(sigma^2)D. chi^2 = (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\sigma^2$ 未知。计算置信度为 $1-\alpha$ 的 $\mu$ 置信区间所用统计量为()。
A. $U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
B. $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
C. $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$
D. $\chi^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$
题目解答
答案
B. $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
解析
步骤 1：确定统计量类型
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，计算置信度为 $1 - \alpha$ 的 $\mu$ 置信区间应使用 t 统计量。t 统计量的公式为：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中，$\overline{X}$ 为样本均值，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本容量。该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，适用于未知方差时的均值估计。
步骤 2：分析选项
- **A**：使用已知 $\sigma$，不适用。
- **B**：t 统计量，符合要求。
- **C**、**D**：均为卡方统计量，用于方差估计，不适用。
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，计算置信度为 $1 - \alpha$ 的 $\mu$ 置信区间应使用 t 统计量。t 统计量的公式为：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中，$\overline{X}$ 为样本均值，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本容量。该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，适用于未知方差时的均值估计。
步骤 2：分析选项
- **A**：使用已知 $\sigma$，不适用。
- **B**：t 统计量，符合要求。
- **C**、**D**：均为卡方统计量，用于方差估计，不适用。