3 设X~N(1,4),且Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772,则P(|X-1|A. 0.6826B. 0.9772C. 0.8413D. 0.9544

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换及标准正态分布函数Φ(z)的应用。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将原正态变量X转化为标准正态变量Z，利用已知的Φ(z)值计算概率。
2. 绝对值不等式处理：将|X-1|<2转化为Z的范围，结合标准正态分布的对称性简化计算。
3. 经验法则：正态分布中，约68%的数据落在均值±1个标准差范围内，可快速验证结果合理性。

破题关键点：

• 识别参数：X~N(1,4)中，μ=1，σ=2。
• 正确转换不等式：|X-1|<2对应Z∈(-1,1)。
• 避免干扰项：Φ(2)的值与本题无关，无需使用。

步骤1：标准化转换
X服从N(1,4)，即μ=1，σ=2。定义标准正态变量Z=(X-μ)/σ，则Z~N(0,1)。
原不等式|X-1|<2可转化为：
$\left| \frac{X-1}{2} \right| < 1 \quad \Rightarrow \quad |Z| < 1.$

步骤2：计算概率
根据标准正态分布的对称性：
$P(|Z| < 1) = P(-1 < Z < 1) = Φ(1) - Φ(-1).$
由于Φ(-1) = 1 - Φ(1)，代入已知Φ(1)=0.8413：
$P(|Z| < 1) = Φ(1) - (1 - Φ(1)) = 2Φ(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826.$

步骤3：验证合理性
根据正态分布经验法则，约68%的数据落在均值±1个标准差范围内，与计算结果一致。