设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X 的简单随机样本，总体的期望和方差都存在，E(X) = mu，D(X) = sigma^2，样本均值 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，样本方差 S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2，则下列选项错误的是（ ）A. E(overline(X)) = muB. D(overline(X)) = (sigma^2)/(n)C. E(S^2) = sigma^2D. overline(X) sim N(mu, sigma^2)

本题主要考查样本均值和样本方差的期望、方差性质以及样本均值的分布相关知识。解题思路是根据样本均值和样本方差的定义，结合期望和方差的性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

根据期望的线性性质，对于任意随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 和常数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，有 $E(\sum_{i = 1}^{n} a_i X_i) = \sum_{i = 1}^{n} a_i E(X_i)$。
已知样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i$，且 $E(X_i) = \mu$（$i = 1, 2, \ldots, n$），则：
$E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i) = \frac{1}{n} E(\sum_{i = 1}^{n} X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$
所以选项A正确。

选项B

根据方差的性质，若 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立，对于任意随机变量 $X$ 和常数 $a$，有 $D(aX) = a^2 D(X)$。
已知样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i$，且 $D(X_i) = \sigma^2$（$i = 1, 2, \ldots, n$），由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是简单随机样本，相互独立，则：
$D(\overline{X}) = D(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i) = \frac{1}{n^2} D(\sum_{i = 1}^{n} X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
所以选项B正确。

选项C

首先对样本方差 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 进行变形：
$\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i = 1}^{n} [(X_i - \mu) - (\overline{X} - \mu)]^2 = \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2 - n(\overline{X} - \mu)^2$
则 $E(S^2) = E[\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2] = \frac{1}{n - 1} E[\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2 - n(\overline{X} - \mu)^2]$
$=\frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 1}^{n} E(X_i - \mu)^2 - nE(\overline{X} - \mu)^2]$
因为 $E(X_i - \mu)^2 = D(X_i) = \sigma^2$，$E(\overline{X} - \mu)^2 = D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，所以：
$E(S^2) = \frac{1}{n - 1} [n\sigma^2 - n\cdot\frac{\sigma^2}{n}] = \frac{1}{n - 1} (n\sigma^2 - \sigma^2) = \frac{1}{n - 1} \cdot (n - 1)\sigma^2 = \sigma^2$
所以选项C正确。

选项D

只有当总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 时，样本均值 $\overline{X}$ 才服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，而题目中仅说明总体的期望和方差都存在，并没有表明总体服从正态分布，所以不能得出 $\overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2)$，选项D错误。