题目
2.(单选题) lim_(xto1)(sin^2(1-x))/((x-1)^2)(x+2)=（）A. 1/3B. -1/3C. 0D. 2/3
2.(单选题) $\lim_{x\to1}\frac{\sin^{2}(1-x)}{(x-1)^{2}(x+2)}=（）$
A. 1/3
B. -1/3
C. 0
D. 2/3
题目解答
答案
A. 1/3
解析
步骤 1：利用等价无穷小
当 $x \to 1$ 时，$\sin(1-x) \sim 1-x$，因此 $\sin^2(1-x) \sim (1-x)^2$。
步骤 2：代入等价无穷小
将 $\sin^2(1-x)$ 替换为 $(1-x)^2$，原式变为 $\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)^2}{(x-1)^2(x+2)}$。
步骤 3：化简表达式
注意到 $(1-x)^2 = (x-1)^2$，因此原式进一步化简为 $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2(x+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+2}$。
步骤 4：计算极限
将 $x=1$ 代入 $\frac{1}{x+2}$，得到 $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$。
当 $x \to 1$ 时，$\sin(1-x) \sim 1-x$，因此 $\sin^2(1-x) \sim (1-x)^2$。
步骤 2：代入等价无穷小
将 $\sin^2(1-x)$ 替换为 $(1-x)^2$，原式变为 $\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)^2}{(x-1)^2(x+2)}$。
步骤 3：化简表达式
注意到 $(1-x)^2 = (x-1)^2$，因此原式进一步化简为 $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2(x+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+2}$。
步骤 4：计算极限
将 $x=1$ 代入 $\frac{1}{x+2}$，得到 $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$。