4.判断题(20分)若随机变量X服从正态分布，设Y=aX+b(aneq0)，则Y也服从正态分布。（）A. 错B. 对

本题考查正态分布的性质。解题思路是依据正态分布的定义和性质，通过随机变量的线性变换来判断变换后的随机变量是否仍服从正态分布。

设随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，即$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其概率密度函数为$f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，$-\infty<x<+\infty$。

已知$Y = aX + b$（$a\neq0$），我们可以通过变量代换的方法求出$Y$的概率密度函数。

令$y = ax + b$，则$x=\frac{y - b}{a}$，对$x$求关于$y$的导数$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{a}$。

根据随机变量函数的概率密度公式$f_{Y}(y)=f_{X}(h(y))\left|h^{\prime}(y)\right|$（其中$h(y)$是$y$关于$x$的反函数，$h^{\prime}(y)$是$h(y)$的导数），将$x=\frac{y - b}{a}$和$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{a}$代入$f_{X}(x)$可得：

$\begin{align*}f_{Y}(y)&=f_{X}(\frac{y - b}{a})\left|\frac{1}{a}\right|\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\frac{y - b}{a}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\left|\frac{1}{a}\right|\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(|a|\sigma)}e^{-\frac{((y-(a\mu + b))^{2}}{2(a\sigma)^{2}}}\end{align*}$

这正是正态分布$N(a\mu + b,(a\sigma)^{2})$的概率密度函数形式，所以$Y$服从正态分布$N(a\mu + b,(a\sigma)^{2})$。