要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时,生产者从一批这种元-|||-件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时.已知该种元件寿命服从-|||-标准差为 =100 小时的正态分布.试在显著性水平 alpha =0.05 下确定这批元件是-|||-否合格.设总体均值为μ(μ未知),即需检验假设 _(0):mu geqslant 1000 ,_(1):mu lt 1000.

本题本题考查正态总体方差已知时，对总体均值的单侧假设检验，解题思路如下：

1. 明确假设：根据题目要求，确定原假设 $H_0$ 和备择 $H_1$ 假设。本题中 $H_0:\mu \geqslant 1000$，$H_1:\mu \lt 1000$，这是一个单侧假设检验问题。
2. 选择检验方法：由于总体服从正态分布且方差 $\sigma^2 = 100^2$ 已知，所以采用 $H_0$ 的拒绝域为 $W=\left\{\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\lt -u_{\alpha}\right\}$，其中 $\mu_0 = 1000$，$n$ 是样本容量，$\overline{X}$ 是样本均值，$\sigma$ 是总体标准差，$u_{\alpha}$ 是标准正态分布的上 $\alpha$ 分位点，这里采用 $u$ 检验法。
   3 确定拒绝域：**
   • 已知显著性水平 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表可得 $u_{0.05}=1.645$。
   • 所以拒绝域 $W=\left\{\frac{\overline{X}-1000}{100/\sqrt{n}}\lt - 1.645\right\}$。
     4 计算检验统计量的值：
   • 已知样本容量 $n = 25$，样本均值 $\overline{x}=950$，总体标准差 $\(\sigma = 100$。
   • 根据公式 $u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，将数值代入可得：
     $\begin{align*}u&=\frac{950 - 1000}{10/\sqrt{25}}\\&=\frac{-50}{100/5}\\&=\frac{-50}{20}\\&=-2.5\end{align*}$
     5 做出决策：
   • 比较计算得到的检验统计量 $u=-2.5$ 与拒绝域的临界值 $-1.645$。
   • 因为 $-2.5\lt - 1.645)，即检验统计量的值落在拒绝域内，所以在 \(\alpha = 0.05$ 的显著性水平下拒绝 $H_0$。
   • 这意味着有足够的证据表明这批元件的平均使用寿命低于 $1000$ 小时，即认为这批元件不合格。