4、随机地从一批钉子中抽取9枚，测得其长度的样本均值overline(x)=49.9，样本标准差s=0.53.设这批钉子的长度服从正态分布N(μ，σ²).(1).若σ>0未知，检验假设H_(0)：mu=mu_(0)=50，H_(1)：muneqmu_(0)=50（取显著性水平α=0.05）(2).若已知σ=0.3，求μ的置信度为95%的双侧置信区间.(3).求σ²的置信度为95%的双侧置信区间.(已知z_(0.05)=u_(0.05)=1.645，z_(0.025)=u_(0.025)=1.96，t_(0.025)(8)=2.306，t_(0.025)(9)=2.2625;χ_(0.025)^2(8)=17.534，χ_(0.025)^2(9)=19.022，χ_(0.975)^2(8)=2.180，χ_(0.975)^2(9)=2.70.)

本题主要考查正态总体参数的假设检验、置信区间的计算，涉及到 t 检验、已知方差时均值的置信区间以及未知方差时方差的的置信区间的知识点。解题思路如下：

(11) 假设检验)

本题是在总体方差$\sigma^2$未知的情况下，对总体均值$\mu$进行双侧假设检验。

• 首先，确定检验统计量。当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$未知时，检验假设$H_{0}:\mu = \mu_{0}$，$H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$，使用的检验统计量为$t=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本容量，该统计量服从自由度为$n - 1$的$t$分布，即$t\sim t(n - 1)$。
• 然后，根据给定的显著性水平$\alpha$，确定拒绝域。对于双侧检验，拒绝域为$\vert t\vert>t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$。
• 最后，计算检验统计量的值，并与临界值比较，作出判断。
  已知$n = 9$，$\overline{x}=49.9$，$s = 0.53$，$\mu_{0}=50$，$\alpha = 0.05$，则$\frac{\alpha}{2}=0.025$，自由度$n - 1 = 8$。
  计算检验统计量$t$的值：
  $t=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}=\frac{49.9 - 50}{0.53/\sqrt{9}}=\frac{-0.1}{0.53/3}\approx - 0.566$
  查$t$分布表得$t_{0.025}(8)=2.306$。
  因为$\vert t\vert=\vert - 0.566\vert = 0.566<2.306$，所以接受原假设$H_{0}$。

(2 已知方差时$\mu$的置信区间)

本题是在总体方差$\sigma^2$已知的情况下，求总体均值$\mu$的双侧置信区间。

• 当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知时，$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的双侧置信区间为$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，其中$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\(\frac{\alpha}{2}$)分位点。
  已知$n = 9$，$\overline{x}=49.9$，$\sigma = 0.3$，置信度为$95\%$，则$1-\ \\alpha = 0.95$，$\alpha = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，查标准正态分布表得$z_{0.025}=1.96$。
  计算置信区间的下限：
  $\overline{x}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=49.9-1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{9}}=49.9 - 1.96\times0.1=49.9 - 0.196 = 49.704$
  计算区间的上限：
  $\overline{x}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=49.9 + 1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{9}}=49.9+1.96\times0.1=49.9 + 0.196 = 50.096$
  所以$\mu$的置信度为$95\%$的双侧置信区间为$[49.704,50.096]$。

(3 未知方差时$\sigma^2$的置信区间)

本题是在总体均值$\mu$未知的情况下，求总体方差$\sigma^2$的双侧置信区间。

• 当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$未知时，$\sigma^{2}$的置信度为$1 - \alpha$的双侧置信区间为$(\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)},\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)})$，其中$\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$和$\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$分别是自由度为$n - 1$的$\chi^{2}$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点和上$1-\frac{\alpha}{2}$分位点。
  已知$n = 9$，$s = 0.53$，置信度为$95\%$，则$1 - \alpha = 0.95$，$\alpha = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，\(n - 1)=8。 查$\chi^{2}$分布表得$\chi_{0.025}^{2}(8}=17.534$，$\chi_{0.975}^{2}(8)=2.180$。
  计算区间的下限：
  $\frac{(n - 1)s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)}=\frac{8\times0.53^{2}}{17.534}=\frac{8\times0.2809}{17.534}=\frac{2.2409}{17.534}\approx0.1282$
  计算区间的上限：
  $\frac{(n - 1)s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)}=\frac{8\times0.53^{2}}{2.180}=\frac{8\times0.2}{2809}{2.180}=\frac{2.2409}{2.180}\approx1.0308$
  所以$\sigma^{2}$的置信度为$95\%$的置信区间为$[0.1282,1.0308]$。