题目
设随机变量 Xsim N(mu,sigma^2) ，若 Y=(X-mu)/(sigma), 则
设随机变量 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ ，若 $Y=\frac{X-\mu}{\sigma},$ 则
题目解答
答案
为了确定随机变量 $ Y = \frac{X - \mu}{\sigma} $ 的分布，其中 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，我们需要遵循以下步骤：
1. **理解 $ X $ 的分布**：
随机变量 $ X $ 服从均值为 $ \mu $ 和方差为 $ \sigma^2 $ 的正态分布。这表示为 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $。
2. **定义 $ Y $**：
随机变量 $ Y $ 定义为 $ Y = \frac{X - \mu}{\sigma} $。
3. **找到 $ Y $ 的均值**：
$ Y $ 的均值可以通过期望的线性性质找到：
\[
E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma} (E(X) - \mu) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \mu) = 0.
\]
因此，$ Y $ 的均值是 $ 0 $。
4. **找到 $ Y $ 的方差**：
$ Y $ 的方差可以通过方差的性质找到：
\[
\text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \left(\frac{1}{\sigma}\right)^2 \text{Var}(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} \text{Var}(X) = \frac{1}{\sigma^2} \sigma^2 = 1.
\]
因此，$ Y $ 的方差是 $ 1 $。
5. **确定 $ Y $ 的分布**：
由于 $ Y $ 是正态随机变量 $ X $ 的线性变换，$ Y $ 也服从正态分布。考虑到 $ Y $ 的均值是 $ 0 $ 和方差是 $ 1 $，我们得出结论 $ Y $ 服从均值为 $ 0 $ 和方差为 $ 1 $ 的正态分布。这表示为 $ Y \sim N(0, 1) $。
因此，答案是 $\boxed{N(0,1)}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的标准化过程，即如何通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布。关键在于理解正态分布的线性变换性质以及标准化后均值和方差的变化。
解题核心思路：
- 标准化操作：通过减去均值$\mu$并除以标准差$\sigma$，消除原分布的均值和方差的影响。
- 正态分布的封闭性：正态分布经过线性变换后仍服从正态分布，只需重新计算均值和方差即可确定新分布。
步骤1：计算$Y$的均值
根据期望的线性性质：
$E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma} (E(X) - \mu) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \mu) = 0.$
因此，$Y$的均值为$0$。
步骤2：计算$Y$的方差
根据方差的性质（常数平方可提出）：
$\text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \left(\frac{1}{\sigma}\right)^2 \text{Var}(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} \text{Var}(X) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \sigma^2 = 1.$
因此，$Y$的方差为$1$。
步骤3：确定$Y$的分布
由于$X$服从正态分布，对$X$进行线性变换$Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$后，$Y$仍服从正态分布。结合均值为$0$、方差为$1$，可得：
$Y \sim N(0, 1).$