2.设 _(0)=(3+2x)(e)^-2x 为微分方程 '+py'+qy=0 的一个特解,又y(x)为该微分方程的解,-|||-且 lim _(xarrow 0)dfrac (y(x)-1)(x)=-1, 则 (int )_(0)^+infty (x)^2y(x)dx= () .-|||-A. dfrac (1)(4) B. dfrac (3)(8) C. dfrac (1)(2) D. dfrac (5)(8)

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解的结构、初始条件的确定，以及利用伽马函数计算定积分。

解题核心思路：

1. 确定微分方程的特征根：由特解形式 $(3+2x)e^{-2x}$ 可知特征根为重根 $\lambda_1 = \lambda_2 = -2$，从而写出通解形式。
2. 利用初始条件求通解中的常数：通过极限条件 $\lim_{x \to 0} \frac{y(x)-1}{x} = -1$，结合洛必达法则，确定初始条件 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=-1$，解出通解中的常数。
3. 计算定积分：将被积函数展开为多项式与指数函数的乘积，利用伽马函数公式计算积分。

破题关键点：

• 识别重根特征：特解形式中的多项式乘以指数函数表明特征方程有重根。
• 正确应用初始条件：通过极限条件转化为初始条件，注意洛必达法则的应用。
• 积分拆分与伽马函数：将积分拆分为两个标准伽马函数形式，直接应用公式计算。

步骤1：确定微分方程的通解

已知特解 $y_0 = (3+2x)e^{-2x}$，说明特征方程有重根 $\lambda_1 = \lambda_2 = -2$，因此微分方程的通解为：
$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$

步骤2：确定通解中的常数

根据初始条件 $\lim_{x \to 0} \frac{y(x)-1}{x} = -1$：

1. 求 $y(0)$：当 $x=0$ 时，$y(0) = C_1 \cdot e^{0} = C_1 = 1$。
2. 求 $y'(0)$：对通解求导得：
   $y' = [C_2 - 2(C_1 + C_2 x)]e^{-2x}$
   代入 $x=0$，得 $y'(0) = C_2 - 2C_1 = -1$。结合 $C_1=1$，解得 $C_2=1$。

因此，微分方程的解为：
$y(x) = (1 + x)e^{-2x}$

步骤3：计算定积分

被积函数为 $x^2 y(x) = x^2 (1 + x)e^{-2x}$，展开为：
$\int_0^{+\infty} x^2 (1 + x)e^{-2x} \, dx = \int_0^{+\infty} x^2 e^{-2x} \, dx + \int_0^{+\infty} x^3 e^{-2x} \, dx$

利用伽马函数公式 $\int_0^{+\infty} x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$：

1. 第一项：$n=2$，$a=2$，结果为 $\frac{2!}{2^{3}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。
2. 第二项：$n=3$，$a=2$，结果为 $\frac{3!}{2^{4}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$。

总积分值为：
$\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$